7. 不太聰明的方法，可能也有一點敘述不清，還請指教
考慮 x0 的情況，兩圖形要有3交點
首先畫圖易知f(0)=6a2−80，即a234
又因為f(x)必定通過原點，所以只要滿足上述條件並且保證讓f(x)與y=x+2有非相切的交點即可
考慮f(x)=x3−3a2x 與 g(x)=x+2需要有兩個交點

x3−(3a2+1)x 的極大值為332(3a2+1)3a2+12
解得a232
故32a234 ，所以36a323 

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11.設g(x)=f(x+2)−2，h(x)=f(2x+1)
因為g(x)為奇函數，可以得到f(x+2)+f(−x+2)=4
因為h(x)為偶函數，可以得到f(2x+1)=f(-2x+1)

由奇函數的條件，有
f(2)=f(0)
f(3)=f(-1)
f(4)=f(-2)...
由偶函數的條件
f(3)+f(1)=4
f(4)+f(0)=4 \Rightarrow f(4)+f(2)=4
f(5)+f(-1)=4 \Rightarrow f(5)+f(3)=4

因此f(1),f(2)\cdots f(2025)每四個一組為一循環
f(1)=0,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=2 \cdots f(2025)=0
為8\times 506=4048

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 13:44 編輯 ]

觀察到x+1-x=1
推測應該是用琴生不等式
因為\displaystyle f(x)=\frac{sin(\pi x)}{x^2}在0<x<1為凹口向上
根據琴生不等式
可得\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}\geq f(\frac{a+b}{2})
所求\displaystyle \geq f(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}
等號成立在a=b的時候

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-10 23:28 編輯 ]

計算第2題
直線方程式 x+2y=1
\displaystyle (x_n,y_n)=(3+(-2)^n,-1+(-2)^{n-1})

計算第3題
令\displaystyle A=\frac{x}{2},B=\frac{y}{2}
有\displaystyle log A \times log B=\frac{17}{36}
且log A+log B=3，設log A 為較大的根
計算出 2.8< log A <2.9 \Rightarrow 3.1<log x <3.2
因此x為4位數

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-10 23:31 編輯 ]