2. 設\(L: y=m(x-3)\)
代入雙曲線方程式得到 \((3-m^2)x^2+6m^2x+(-9m^2-3)=0\) 有相異兩實根 \(p,q\)

\(\overline{AF}+\overline{BF}=\displaystyle 2[|p-\frac{1}{2}|+|q-\frac{1}{2}|]=16\)
且易知\(p,q > \displaystyle \frac{1}{2}\)
因此\(p+q=9 \Rightarrow \displaystyle \frac{-6m^2}{3-m^2}=9 \Rightarrow m=\pm 3\)

7. \(P(cos2A,sin2A),Q(4+2cosA,2sinA)\)

\(\overline{PQ}^2= 21+(-16cos^2A+12cosA+8) \leq 21+\displaystyle \frac{41}{4}=\frac{125}{4}\)
\(\displaystyle \overline {PQ} \leq \frac{5\sqrt{5}}{2}\)

15.舉一個例子寫出結構不難發現
若第一列到\((n+1)^2\)
總合為\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} C^{n}_{k} (k+1)^2\)

化簡為\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} C^{n}_{k}[k(k-1)+3k+1)=n(n-1)\times 2^{n-2}+3n\times 2^{n-1}+2^n=2^{n-2}\times (n+1)(n+4)\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-5-2 11:31 編輯 ]

焦半徑公式
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) 上一點 \(\displaystyle (x_0,y_0)\)

到焦點\(F(c,0)\)的距離為\(\displaystyle \frac{c}{a} |x_0-\frac{a^2}{c}|\)