3.
設\(f(n)\)表示最接近\(\root 6\of n\)的整數，求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2026}\frac{1}{f(k)}=\)　　　
[解答]
若\(\displaystyle \sqrt[6]{n}=k\)，表示\(\displaystyle k-\frac{1}{2}\leq \sqrt[6]{n}<k+\frac{1}{2}\)
整理得到\(\displaystyle (k-\frac{1}{2})^6 \leq n < (k+\frac{1}{2})^6\)

if \(k=1 \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{64}\leq n < \frac{729}{64}\)，\(n\) 有1~11共11個

if \(k=2 \Rightarrow \displaystyle \frac{729}{64}\leq n < \frac{5^6}{64}\)，\(n\) 有12~244共233個

if \(k=3 \Rightarrow \displaystyle \frac{5^6}{64}\leq n < \frac{7^6}{64}\)，\(n\) 有245~1838共1594個

if \(k=4 \Rightarrow \displaystyle \frac{7^6}{64}\leq n < \frac{9^6}{64}\)，\(n\) 有1839~2026共188個

所求\(\displaystyle 11+\frac{233}{2}+\frac{1594}{3}+\frac{188}{4}=705\frac{5}{6}\)

2.
已知\(z\)是複數且\(\displaystyle z-\frac{4}{z}\)是純虛數，則\(|\;z-1-i|\;\)的最小值是　　　。
[解答]
\(\displaystyle z-\frac{4}{z}\)為純虛數，因此\(z\)必不為實數
假設\(z=a+bi  ,a\neq 0\), 純虛數為\(ki\)

列式整理後可得\(a^2+b^2=4\)，即該圓到\((1,1)\)的最短距離
所求為\(2-\sqrt{2}\)

9.
在菱形\(ABCD\)中，\(\angle DAB=60^{\circ}\)，將\(\triangle ABD\)沿對角線\(\overline{BD}\)折起得\(\triangle A_1BD\)，使得\(A_1BD\)面與\(CBD\)面所夾二面角為\(60^{\circ}\)，設向量\(\vec{DA_1}\)與向量\(\vec{BC}\)的夾角為\(\theta\)，則\(cos\theta=\)　　　
[解答]
架設坐標
\(A(0,0,0,),B(2,0,0),C(3,\sqrt{3},0),D(1,\sqrt{3},0)\)

利用兩面角\(60^{\circ}\)條件求出\(A_1 (\displaystyle \frac{9}{4},\frac{3}{4}\sqrt{3},\frac{3}{2})\)

\(\displaystyle \vec{DA_1}=(\frac{5}{4},\frac{-\sqrt{3}}{4},\frac{3}{2})\)
\(\displaystyle \vec{BC}=(1,\sqrt{3},0)\)

平移一下知道\(\theta\)是銳角

計算得\(\cos\theta =\displaystyle \frac{1}{8}\)