填充2
代入兩個條件後相減
可以得到\(a^3-ab^2+ab-b^2=0\)
因式分解得到\((a-b)(a^2+ab+b^2)=0\)
因為\(a\neq b \Rightarrow a^2+ab+b=0\)

改寫得\(\displaystyle b=-\frac{a^2}{a+1}\in \mathbb{Z} \Rightarrow a=-2,b=4\)
最後利用\(f(-2)=-8,f(4)=64\)擇一求出\(c=16\)
所求\(a+b+c=18\)

計算2
(1)設 \(\displaystyle [\sqrt{n}]=k \Rightarrow k^2\leq n<(k+1)^2\)
因此 \(\displaystyle k\leq f(n)<k+2+\frac{1}{k}\)
由題目敘述知道 \(\displaystyle 5\leq  \frac{n}{[\sqrt{n}} ]<6\)
若 \(\displaystyle k= [\sqrt{n}]=3, 3\leq \frac{n}{[\sqrt{n}]}<5\frac{1}{3}\)，配合\(\displaystyle 5\leq  \frac{n}{[\sqrt{n}}] <6\)
得到\(\displaystyle 5\leq \frac{n}{5}<5\frac{1}{3}\)，\(n=15\)是最小值
同理取\(\displaystyle k= [\sqrt{n}]=5, 5\leq \frac{n}{[\sqrt{n}]}<7\frac{1}{5}\)，配合\(\displaystyle 5\leq  \frac{n}{[\sqrt{n}}] <6\)
得到\(\displaystyle 5\leq \frac{n}{5}<6\)，\(n=29\)是最大值

(2)若 \(n\)不為完全平方數，且\(n+1\)也不是完全平方數
則\(\displaystyle [\sqrt{n}]=[\sqrt{n+1}]\)

因此\(\displaystyle f(n)=[\frac{n}{[\sqrt{n}]}]<f(n+1)=[\frac{n+1}{[\sqrt{n+1}]}]\)

若\(n\)不為完全平方數，但\(n+1\)是完全平方數
設\(\displaystyle n=p^2-1,n+1=p^2\)
則\(\displaystyle f(n)=[\frac{p^2-1}{[\sqrt{p^2-1}]}]=[\frac{p^2-1}{p-1}]=p+1\)
\(\displaystyle f(n+1)=[\frac{p^2}{[\sqrt{p^2}]}]=p\)
滿足\(f(n)>f(n+1)\)
因此\(n\)為完全平方數的前一個數
共44個

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-16 18:05 編輯 ]