平面上一點P以原點為中心，逆時針旋轉角，再對過原點的直線L作鏡射後得Q點，已知P、Q兩點對稱直線L：y=5x，且tan=43，則直線L的斜率為　　　。
[解答]
令a=阿爾法角 ( tan(a)=3/4 ), A(OP)表OP方向角
則A(L)=((A(OP)+a)+A(OQ))/2=(A(OP)+A(OQ))/2+a/2=A(L')+a/2
(1) 當a 為銳角時 , tan(a/2)=3/(5+4)=1/3(畫半角圖馬上知道),
      所求=tan(A(L))=tan(A(L')+a/2)=(5+1/3)/(1-5*(1/3))=-8
(2) 當 a 比(1)中的a多加180度時(tan(a)一樣=3/4), a/2 要再多出90度,
      此時A(L)也跟著多出90度,所以所求=1/8 , 故 填充11. 答案 應該改成 -8 或 1/8 才對

設函數y=f(x)=3x ，若正實數t滿足f(t+16)−f(t−16)=2，則t=　　　。
[解答]
t>0,t+16>16,
故存在正數a使 t+16=(ㄏa+1)^3=(a+3)ㄏa +(3a+1) ,
再由原式易知   t-16=(ㄏa -1)^3=(a+3)ㄏa - (3a+1)
    解得 a=5   ,     t=8ㄏ5

坐標平面上，一直線通過點(12)且與雙曲線xy=1交於相異二點PQ，則PQ的最小值為　　　。
[解答]
設該直線L斜率m,則 L: y-2=m(x-1) => y=mx+(2-m) 代入 xy=1
得 mx^2+(2-m)x-1=0 , 設兩根為p,q
則 PQ=| p-q |*ㄏ(m^2+1)=ㄏ((p+q)^2-4pq)*ㄏ(m^2+1)=ㄏ(((2-m)/m)^2+4/m)*ㄏ(m^2+1)
          =ㄏ(m^2+4/m^2+5)>=ㄏ(2*ㄏ(m^2*4/m^2)+5)=3
故 最小值=3 , 此時 直線L斜率m=+-ㄏ2

題目中 "若此四面體的高" 是不是應該改成 "若此八面體的高" 嗎?
而且也應該說頂部跟底部平行吧?

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 11:05 編輯 ]

設切線 y=mx 代入 y=f(x)=F'(x)=x^2/4-4x+p
可得 x^2/4-(m+4)x+p=0 , 因為相切, 所以 D=(m+4)^2-p=m^2+8m+(16-p)=0
兩切線垂直=> m的兩根乘積=16-p=-1 => p=17
原式中令 x=1 得 1/12-2+p+q=0 => q=-181/12

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 11:40 編輯 ]

由孟氏定理  AE/EB*BC/CD*DO/OA=1/2*2/1*DO/OA=1 => AO=OD
原式=> AB*AC=6*(AB+AC)/2/2*(-1/3*AB+AC) =>AB*AB=3AC*AC (*表內積)=>所求=ㄏ3

填充13.
由過A，平行（過B中線: 3x+2y=7）的直線為3x+2y=1
知過C，平行（過B中線）的直線為3x+2y=13
再與過C中線：x-2y=13解聯立，可得C(13/2,-13/4)

填充7.
a^2-(27/2)^2=(ㄏ141)^2+((ㄏ3)/2*15*2/3-(ㄏ3)/2*27*1/3)^2 => a=18

填充12.
設 a=AP,c=AC,由面積關係易知 ac=2*3/3=2, 令 a+c=x,
cosA=-1/4,PQ=ㄏ(a^2+c^2-2ac*(-1/4))=ㄏ(x^2-3)
由周長關係知 4+(2-a)+(3-c)+ㄏ(x^2-3)=2(ㄏ(x^2-3)+a+c)
         ㄏ(x^2-3)=9-3x >=0  => x<=3 , x=(27-ㄏ57)/8=2.4312.. 但 x=a+c>=2ㄏ(ac)=2.828.....
         矛盾,故本題無解

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 15:44 編輯 ]

AI平分角A ,
顯然MN垂直AI時AMN面積最小(你若把此MN再另畫斜一個角度馬上發現下方多 出來的面積會比上方少掉的多
故所求=AI*(AI*tan(A/2))=[  (9AB+6AC)/(6+9+12)內積(9AB+6AC)/(6+9+12) ] * (sinA/(1+cosA))
           =[  (3AB+2AC)/9內積(3AB+2AC)/9 ] * ((ㄏ15)/4)/(1-1/4)
           =(9*36+4*81+12*(6^2+9^2-12^2)/2)/81*(ㄏ15)/3
           =(4+4-2)*(ㄏ15)/3=2ㄏ15

填充15.
取BD為單位長,設a>0,D(0,0) , B(-1,0) ,  C(1,0)  , I(0,a)=>A(0 , 2a/(1-a^2) ) (tan 兩倍角公式)
H(0,2a) , BH垂直AC=>  BH內積AC=(1,2a)內積(1,-2a/(1-a^2))=1-4a^2/(1-a^2)=0 =>a^2=1/5
故所求=[2a/(1-a^2) ]/(2a)=1/(1-a^2)=5/4

[ 本帖最後由 laylay 於 2021-5-5 21:12 編輯 ]

由題意知五個奇數必定恰好在某一行跟某一列的五個位置上.
所以所求=3^2/C(9,5)=1/14