8.
平面上，\(P\)為\(\overline{AB}\)上一點滿足\(\overline{AP}=5\)且\(\overline{BP}=3\)，\(Q\)為平面上一點滿足\(\overline{AQ}=7\)且\(\overline{BQ}=3\)，若以\(\overline{AB}\)為直徑作一圓\(C\)，自\(P\)向\(Q\)作射線\(PQ\)交圓\(C\)於點\(R\)，試求\(\overline{PR}\)的長度。
[解答]
cosABQ=(8^2+3^2-7^2)/(2*8*3)=1/2 => 角BPQ=60度,
設圓心為C(0,0),P(1,0),PR=t => R(1+t/2,ㄏ3/2*t)
CR^2=1+t+t^2/4+3t^2/4=t^2+t+1=4^2 => t^2+t-15=0 , t=(-1+ㄏ(1^2-4*1*(-15)))/(2*1)
故所求=t=(-1+ㄏ61)/2

2.
\([\phi^{2023}]\)的個位數為　　　。(\(\phi \approx 1.618\)為黃金比例)
[解答]
令 a=(1+ㄏ5)/2為黃金比例 , b=(1-ㄏ5)/2 , f(n)=a^n+b^n
則 a,b 是 x^2=x+1 的兩根 , 易知 f(n+2)=f(n+1)+f(n) , f(1)=1,f(2)=3
觀察 f(n)除以10之餘數得 1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2  ,1,3........ 可知是12個一循環 , 2023=12*168+7
故 f(2023)=a^2023+b^2023除以10之餘數=f(7)除以10之餘數=9, 又 -1<b^2023<0 => [a^2023] 除以10之餘數=9 即為所求

114.4.24補充
設[x]表示不大於x的最大整數，求\( \displaystyle \Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1+\sqrt{5}}{2} \Bigg)\; ^{2010} \Bigg]\; \)除以7的餘數。
(99南港高工，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=967&page=1#pid2214)