填充10各位老師的手法太神了
不過我還是提供一個方法試試，因為老師的手法我不覺得我有搞懂......
給大家參考


可以先看到(3n)!=nk=13knk=1(3k−1)nk=1(3k−2) 


而nn!nk=13k=3 ，　所以需要思考的就剩下nn!nk=1(3k−1)=nnk=1k3k−1和nn!nk=1(3k−2)=nnk=1k3k−2了。


由算術平均數幾何平均數調和平均數   可得

nnk=1k3k−1nnk=1k3k−1nnk=1k3k−1

所以

3−n1nk=1k1=n3n−nk=1k1nnk=1k3k−1  n31n+nk=113k−1=31+n1nk=113k−1

而因為調和級數的特性，所以limnn1nk=1k1=0且limnn1nk=113k−1=0 

所以

3=limn3−n1nk=1k1  limnnnk=1k3k−1  =limn31+n1nk=11(3k−1)=3

故limnnnk=1k3k−1=3　，　同理limnnnk=1k3k−2=3

所以所求3*3*3=27

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-5-16 10:35 編輯 ]

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2023-5-19 22:32 發表
不過…在使用算幾不等式時…是有限項，然後最後單只把右式的n驅近無限大，之後大於等3
這樣不好說明3是最大下界，搞不好是4或5或6，也都大於等於3…
或許可以換成，用夾擠的方式來說明，先在有限 ...

謝謝教授回覆，我倒是真的忘記算幾不等式直接推到無限很危險，不過我的確是用夾擠定理來處理這題。
但剛剛y再看一次，覺得有些細節沒有講得很清楚，可能也會讓後續的人誤會，
我試著修改一下：

n(n!)3(3n)!=nn!n!n!nk=13knk=13k−1nk=13k−2=nnk=1k3knk=1k3k−1nk=1k3k−2=3nnk=1k3k−1nnk=1k3k−2 


先來看nnk=1k3k−1


設an=nnk=1k3k−1，則an=nnk=13−k1  =3−n1nk=1k1 　；

設gn=nnk=1k3k−1　；

設hn=nnk=1k3k−1，則hn=nnk=1311+13k−1=3nn+nk=113k−1=31+n1nk=113k−1


由由算術平均數AM幾何平均數GM調和平均數HM，可得angnhn

而由調和級數的特性，可得
limnan=limn3−n1nk=1k1=3−0=3 
與
limnhn=limn31+n1nk=113k−1=3limn1+n1nk=113k−1=31+0=3

由夾擠定理angnhn　則　3=limnanlimngnlimnhn=3

故3=limngn=limnnnk=1k3k−1


同理3=limnnnk=1k3k−2


故所求limnn(n!)3(3n)!=limn3nnk=1k3k−1nk=1k3k−2=333=27 

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-5-22 10:06 編輯 ]