依往例雄女不曾公布題目，趁記憶猶新來跟大家分享。

※共14題計算證明題，1~12每題7分，13、14各8分。
1.數列an滿足a1=1an+1=116(1+4an+(1+24an))nN ，試求an的一般式。

2.設x1x2x3xn均為正實數，且nk=1xk=48nk=1x2k=36nk=1x3k=27，求n。

3.方程式x8+ax4+1=0有四實根四虛根，且四個實根成等差數列，求a。

4.方程式(x2+4x+3)2+k=0 有一正根一負根及二虛根，試求k的範圍。

5.

limmlimn[m21+n1n+2n+n2n+3n++n(m−1)n+mn]=？ 

6.請問函數y=x2和 y=2x+15所圍的區域在 x=t和 x=t+1間面積的最大值為何？

7.設f(a)=limxa1x−aax(2t−1)(t−2)2  dt ，令 f(a)的極大值 M和極小值 m，求(Mm)。

8.拋物線y=x2+1和y=−(x−1)2的兩條公切線和兩圖形切於4個相異點，請問此4點所圍成的四邊形面積為何？

9.ABC的重心為G，過G作一直線分別交AB、AC於PQ，請證明APQ的面積至少為ABC的九分之四。

10.(題目的數據太複雜，算完就忘了XD，以下僅提供大意)
令B是一個可對角化的33矩陣且eigenvalues分別為 1, 1, 2 ，令 B^n 的9個元素分別為 a_1, a_2, a_3, \dots, a_9 ，其中 a_5 在正中間。計算

\lim\limits_{n \to \infty } \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_9}{a_5} =？

11. log_2 (x^2 + 20x) - log_2 (4x-3a-\frac{3}{2}) = 1 的 x 有唯一解，求 a 的範圍。

12.設 cos\theta = \frac{1}{3} ，令 a_n = 3^n cos n\theta，證明 \forall n \in \mathbb{N} ， a_n 必為整數且不為3的倍數。

13.在 \Delta ABC 的 AB, AC 上各取一點 m, n ，使得 MB=BC=CN 。令 \Delta ABC 的外接圓半徑、內切圓半徑分別為 R, r ，試求 \frac{MN}{BC} 。

14.(考場中沒想法所以沒寫，數字不太確定)
設 x \geq y \geq z \geq w \geq 0 ， 5x+4y+3z+6w=2013 ，求 x+y+z+w 的最大值及最小值。

如有誤植還請各位網友不吝指正。

感謝告知，已更正。

這題目前還沒人問但其實頗有難度，解題過程也很漂亮，小弟分成兩步驟，解如下：

(1) 證明： \cos (n+2)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta -\cos n\theta 。
     利用和差角公式，計算可得 \cos (n+1+1)\theta + \cos (n+1-1)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta 。

(2)計算 a_1 = 3 \times \cos\theta =3 \times \frac{1}{3} =1, a_2 = 3^2 \times \cos 2\theta =9 \times (-\frac{7}{9}) = -7, a_3 = 3^3 \times \cos 3\theta =27 \times (4 \times \frac{1}{27} - 3 \times \frac{1}{3}) = -23
，所以 a_1, a_2, a_3 皆為不被3整除的整數。
假設 a_{k+1}, a_k 均為不被3整除的整數，利用(1)得到的 cos 遞迴式，可得
a_{k+2} = 3^{k+2} \cos (k+2)\theta = 3^{k+2} (2\cos \theta \cos (k+1)\theta -\cos k\theta) = 2 \times 3 \times \frac{1}{3} \times 3^{k+1} \cos (k+1)\theta - 9 \times 3^k \cos k\theta = 2a_{k+1} - 9a_{k} ，因 a_{k+1}, a_k 均為整數，故 a_{k+2} 也是整數，又因
9a_{k}為3的倍數，但 2, a_{k+1} 皆不是3的倍數，故 a_{k+2} 也不是3的倍數，因此由數學歸納法得證。     

如有錯誤或其他解法，請不吝指正或分享，感恩！

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-19 23:37 編輯 ]