第九題
證明下列級數收斂或發散
(1)\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}ln n}\) (2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{(2n+5)^n}\)
[解答]
\[(1)原式= \frac{1}{\sqrt{2}ln2} + \frac{1}{\sqrt{3}ln3} + \frac{1}{\sqrt{4}ln4} + \frac{1}{\sqrt{5}ln5}+ ... > \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4} \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{5}}+...
= \frac{1}{2} +\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... ，故級數發散。\]
\[(2)原式 = \frac{7}{7}+\frac{7}{9^2}+\frac{7}{11^3}+\frac{7}{13^4}+... =7(\frac{1}{7}+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{11^3}+\frac{1}{13^4})<7(\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}+\frac{1}{7^4}+...)=7*\frac{1}{1-\frac{1}{7}}=\frac{49}{6}，故級數收斂。 \]
後記：有關級數或數列收斂，可以參考大一微積分課本的相關章節，如果對這邊夠熟應該會有體會，雖然有各式各樣的級數審斂法(Integral test、root test、ratio test...)，但原理仍是積分或等比級數。大致上可分兩類：交錯級數和非交錯級數。如果是交錯級數，只要每一項絕對值遞減且趨近於零，就會收斂。非交錯級數(假設每一項都是正數)，只要能找到一個收斂的積分或等比級數把原式bound住，就會收斂；反之若能找到一個被原式bound的發散積分或等比級數，那就發散。
