依往例南一中應該會公告題目，這邊先附上計算提供大家討論。
今年考得很難，寫起來應該是要兩個小時的考卷，但實際只有九十分鐘...

計算題共3題，每題9分。
一、求 \(\displaystyle \left[ \frac{10^{2022}}{10^{674}+2022} \right] \)的末4位數。
二、設三複數 \( \alpha ,\beta ,\gamma \)在座標平面上代表\( A, B, C \)三點(其中\(A\)在第一象限)，且\( \Delta ABC\)是正三角形。已知\( \alpha ,\beta ,\gamma \)滿足
\[ \alpha^4 - 2\alpha^3\beta + \alpha^2 ( \beta^2 - 4) + 8\alpha\gamma -4\gamma^2 =0 \]，
且 \( \Delta ABC \)之重心\( G \)為\(\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}}\)，試求\( \alpha, \beta, \gamma \)。
三、設實係數多項式 \( f(x) \)滿足 \( deg(f(x)) \geq 2 \)，且\( f'(x) \)是\( f(x) \)的因式，請問\( f(x)=0 \)的實根個數、\( y=f(x) \)的極值點以及反曲點個數各有幾個？

計算二
設複數平面上三點\(A(\alpha)\)、\(B(\beta)\)、\(C(\gamma)\)可連成正三角形\(ABC\)，已知\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)滿足\(\alpha^4-2\alpha^3\beta+(\beta^2-4)\alpha^2+8\alpha\gamma-4\gamma^2=0\)且\(\alpha\)的實部和虛部均為正數，當\(\Delta ABC\)的重心\(G\)為\(\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}}\)時，求\(\beta\)及\(\gamma\)各為多少？
[解答]
化簡那串式子可得\( \alpha^2(\alpha-\beta)^2=(2\alpha-2\gamma)^2 \)，因此
\(\displaystyle \alpha=\pm \frac{2(\alpha-\gamma)}{\alpha-\beta}\)，由圖形及複數除法的意義及A在第一象限，
可得\( \alpha=2(\cos60^{\circ} + i \sin60^{\circ}) \)，再由重心G為\(\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}} \)，
可得G所代表的複數為\( -2 \)。再來(我直接用A, B, C, G表示複數了)，因為\( A-G\)知道了，
所以\( (B-G)=(A-G)(\cos120^{\circ} + i \sin120^{\circ})  \)、\( (C-G)=(B-G)(\cos120^{\circ} + i \sin120^{\circ})  \)。
得出來的結果在加G(-2)就可以得到\( \beta, \gamma \)。