p,q皆為質數
q^3=p^2-p+1,求數對(p,q)
多謝

101.1.26版主補充
補上題目連結http://www.tcfsh.tc.edu.tw/web/adm/exam/sci/exam.htm

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-1-26 06:44 AM 編輯 ]

多謝

(q-1)(q^2+q+1)=p(p-1)
顯然p>q
p是q^2+q+1的因數,設q^2+q+1=kp,則p-1=k(q-1),消掉p
q^2-(k^2-1)q+(k^2-k+1)=0,假設兩根為A,B,則
A+B=k^2-1,AB=k^2-k+1
AB-A-B=2-k
(A-1)(B-1)=3-k>0或=0
k=1,2,3
k=1,2時,不合;k=3時,q^2-8q+7=0,q=7或1(不合)
q=7時,求出p=19