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選擇題
11.和美實驗學校校慶桌球擂台賽，數學科與行政組各派五人參加；隊員按事先排好順序出場參加擂台賽，雙方先由1 號隊員比賽，輸者被淘汰，勝者在與輸方的2 號隊員比賽，依此類推，直到一方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程。則所有比賽過程的總數有多少？(A)14400　(B)120　(C)126　(D)252

甲乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽。雙方先由一號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方二號比賽，...，直到一方隊員全被淘汰為止，另一方則獲得勝利，如此形成一種比賽過程。試求所有可能出現的比賽過程的方法數？(95文華高中，高中數學101 P272)
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柔道擂台賽，比賽過程是：甲、乙二隊各出7名隊員按事先安排的順序出場比賽，雙方先由1號隊員出賽，負者遭淘汰；負方再派2號出場迎戰勝方的1號，L以此類推，直至一方7名隊員全被淘汰為止，另一方獲勝。所有可能出現的比賽過程的個數為[93學年度高中數學能力競賽中區(嘉義高中)　筆試(二)試題]
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_02.pdf　連結已失效
https://math.pro/db/thread-884-1-1.html

113.5.17補充
某項比賽到最後剩下甲、乙兩隊要進行冠軍爭奪戰，兩隊事先排定選手出戰順序，並已公布不可變更，冠軍爭奪戰方式如下：
(1)兩隊各派出6名選手，並按事先已排定順序進行6場比賽。
(2)每場由兩隊依序派出一位選手比賽，並定出輸贏沒有平手。
(3)第一場由兩隊第一位選手對戰，輸的選手被淘汰，贏的一方繼續留在場上對戰對方的下一位選手。
(4)當有一隊的選手全部都被淘汰時，留在場上的一方即奪得冠軍。
(5)例如：甲隊第一位選手依序將乙隊第一位到第六位選手全部淘汰時，甲隊即奪得冠軍。
請問要產生冠軍的賽程(上述(5)中舉例，即是一種賽程)，一共有　　　種。
(113南湖高中，https://math.pro/db/thread-3867-1-1.html)

填充題
1.設X為一實數，定義[ X] 表示不大於X的最大整數，例如：[ 35] =3，[ 4] =4，則〔1 〕+〔2 〕+〔3 〕+...+〔102 〕=

〔1 〕~〔3 〕　　　　　　13
〔4 〕~〔8 〕　　　　　　25
〔9 〕~〔15 〕　　　　　　37
　　　　...
〔81 〕~〔99 〕　　　　　　919
〔100 〕,〔101 〕,〔102 〕　　　　10,10,10
9k=1k(2k+1)+30=645 

Prove that for any natural number n,〔1 〕+〔2 〕+...+〔n2 〕=61n(4n2−3n+5)
https://artofproblemsolving.com/community/c6h88132

2010.6.2補充
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1501


4.有20個學生與20扇關著的門，皆從1編號至20。今1號學生將所有的門打開，接著2號學生把編號2的倍數的門再關起來，3號學生再把編號3的倍數的門作相反的動作(開著關上、關著的打開)，依此類推，直到20號學生做完。請問最後打開的門有幾個。(完全平方數)

設一長廊有100盞燈，依序排成一列，編號1、2、3、、、、、100，開始全部都是關的，今有100人依次經過，第一人經過時將全部的燈打開，第二人經過時將燈號為2之倍數者關上，第三人經過時將燈號為3之倍數者改變狀態(開者關上，關者打開)，、、、、、第n人經過時將燈號為n之倍數者改變狀態。請問100人依次經過後，最後共有多少盞是開的？(96淡水商工)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=22529　連結已失效


8.坐標平面上的圓C：(x−8)2+(y−9)2=16上有幾個點與原點的距離恰好是整數值。

坐標平面上的圓(x−7)2+(y−8)2=9上有幾個點與原點的距離正好是整數值。
(2004學科能力測驗)