a2n+1+a2n+4=2an+1an+4an+1+4an......(1)式
a2n+a2n−1+4=2anan−1+4an+4an−1......(2)式
(1)式－(2)式得
a2n+1−a2n−1=2an(an+1−an−1)+4(an+1−an−1)

(an+1+an−1)(an+1−an−1)−2an(an+1−an−1)−4(an+1−an−1)=0

(an+1−an−1)(an+1+an−1−2an−4)=0

得到an+1+an−1−2an−4=0，(an+1−an)−(an−an−1)=4

令bn=an−an−1，n1，b2=a2−a1=8−2=6

列出遞迴式
bn−bn−1=4
bn−1−bn−2=4
...
b3−b2=4

以上的式子相加bn−b2=4(n−2)，bn=4n−2
列出遞迴式
an−an−1=4n−2
an−1−an−2=4(n−1)−2
...
a2−a1=42−2

以上的式子相加an−a1=2n−1(4n−2+6)，an=2n2

111.4.19補充
設一數列an滿足a1=1，an+1an(nN)且(an+1)2+(an)2+1=2(an+1an+an+1+an)。令Sn=nk=1ak ，試求limnSnnan=　　　。
(111台中一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3621&page=1#pid23757)

1.
(2x−5)2+(x−2)2−(2x−4)2+(x−1)2 

(x−2)2+(2x−5)2−(x−1)2+(2x−4)2 
看成A(2,5)，B(1,4)，y=2x上一點P(x2x)求AP−BP的最大值
利用三角不等式ABAP−BP
當A,B,P連成一直線時有最大值2 


101.6.17補充
http://blog.xuite.net/ginwha/school/28573069

3.
loga27+logb27+logc27=logabc27

1log27a+1log27b+1log27c=1log27abc=1log27a+log27b+log27c

令x=log27a，y=log27b，y=log27c

得到x1+y1+z1=1x+y+z，xyzxy+yz+zx=1x+y+z，(xy+yz+zx)(x+y+z)=xyz
可看成f(xyz)=(xy+yz+zx)(x+y+z)−xyz，x=−y，y=−z，z=−x均為0
f(xyz)=λ(x+y)(y+z)(z+x)=0
取x=−y，log27a=−log27b， ab=1 代入 (abc)^2-abc(a+b+c)+(ab+bc+ac)=1


類似的題目請一併準備
設a,b,c為異於1之正數，且 log_{a} 10+log_{b} 10+log_{c}10=log_{abc}10 ，則
(abc)^{4}-(abc)^{2} (a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}=
(高中數學101　P95)
證明:如果實數a,b,c滿足關係式 \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} ，則對任意奇數n， \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}
(高中數學競賽教程P354)
若a,b,c滿足 \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} ，試證:若n是自然數, \frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}
(建中通訊解題第41期)
題外話,看公佈的解答 (ab+bc+ca)(a+b+c)=abc 就直接得到 (a+b)(b+c)(c+a)=0
這是國中生就會的題目嗎？
設a,b,c都不為零， a+b+c=2 ， \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} ，證明:a,b,c中至少有一個等於2。
(初中數學競賽教程P23)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-5-12 04:04 PM 編輯 ]

9.
已知△ABC中， \overline{AB}=5 ， \overline{BC}=6 ， \overline{AC}=7 ， \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} ， \overline{BF}=\overline{FG}=\overline{GC} ，如右圖，則△CHI的面積為。
[提示]
利用孟氏定理
\frac{\overline{GI}}{\overline{IA}}=\frac{2}{3} ，△CGI= \frac{2}{5} △CGA
\frac{\overline{GH}}{\overline{HA}}=\frac{1}{6} ，△CGH= \frac{1}{7} △CGA
△CHI=△CGI-△CGH= \frac{9}{35} △CGA= \frac{3}{35}△ABC


補充個類似題
Given a triangle ABC with area 1, points D,E,F, and G trisect BC and AC. Find the area of quadrilateral MDEN.
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=146987



100.11.19補充
圖中，ABC是面積為1的三角形。D、E是AB上的點，F、G是AC上的點，使得AD=DE=EB和AF=FG=GC。求BF、BG、CD和CE圍成的區域的面積。
In the figure, ABC is a triangle with area 1. D, E are points on AB while F, G are points on AC such that AD=DE=EB and AF=FG=GC.
Find the area of the region bounded by BF, BG, CD and CE.
(第十屆培正數學邀請賽　中三組　決賽，http://www.mathdb.org/resource_sharing/others/s_puiching10_F3.pdf)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 11:08 AM 編輯 ]

8. (1) \displaystyle\sum\limits_{{n_2} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } }  = ?
　(2)  \displaystyle\sum\limits_{{n_{10}} = 0}^3 {\sum\limits_{{n_9} =0}^{{n_{10}}} { \cdots \sum\limits_{{n_2} = 0}^{{n_3}}{\sum\limits_{{n_1} = 0}^{{n_2}} {\sum\limits_{{n_0} = 0}^{{n_1}} 1 } }} }  = ?

補充另一種方法
(1)看成 0 \le n_{0} \le n_{1} \le n_{2} \le 3 ，有 H^4_3=20 種
(2)看成 0 \le n_{0} \le n_{1} \le ... \le n_{9} \le n_{10} \le 3 ，有 H^4_{11}=364 種

類似題
滿足 1 \le a \le b < c \le d \le 8 的整數解 (a,b,c,d) 共有幾組？
(95新竹高商，http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=40793)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-7-8 08:56 PM 編輯 ]

數列 \{ a_n \} 中，已知 a_1=2 ， a_{n+1}>a_n ，且 a_{n+1}^2+a_n^2+4=2a_{n+1}\cdot a_n+4a_{n+1}+4a_n ，則一般項 a_n= ？
[另解]
重新整理得 a_{n+1}^2-(2a_n+4)a_{n+1}+(a_n^2-4a_n+4)=0
\displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n+4 ±\sqrt{(2a_n+4)^2-4 \cdot 1 \cdot (a_n^2-4a_n+4)}}{2}
a_{n+1}=a_n+2+2\sqrt{2a_n} ， \sqrt{a_{n+1}}^2-(\sqrt{a_n}+\sqrt{2})^2=0



補充二題
設 \{ a_n \} 滿足 a_1=1 ， 4a_n \cdot a_{n+1}=(a_n+a_{n+1}-1)^2 ， a_{n+1}>a_n ，求 a_n ？
(高中數學競賽教程P324)
其實展開後 2a_n \cdot a_{n+1}-1=a_n^2+a_{n+1}^2-2a_n-2a_{n+1} 和師大附中這題類似
但這題已經配方好了，直接從 \sqrt{4a_n \cdot a_{n+1}}^2-(a_n+a_{n+1}-1)^2=0 著手



設數列 a_n 滿足 a_{n+1}^2+a_{n}^2=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_{n}) ， a_1=1 且 a_{n+1}>a_n 。令 S_n 表示數列前 n 項之和。求 \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n \cdot a_n}= ？1/3
http://frankliou.wordpress.com/c ... %e6%a5%b5%e9%99%90/

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-7-1 07:55 AM 編輯 ]