一、填充題
1.
設\(a,b,c\)皆為正實數，且滿足下列各式\(\displaystyle a+\frac{2}{b}=5\)、\(\displaystyle b+\frac{2}{c}=4\)、\(\displaystyle c+\frac{2}{a}=\frac{5}{2}\)，求\(abc\)的值為
。
\(\displaystyle \frac{27\pm\sqrt{697}}{2}\)
2.
已知正整數\(m,n\)滿足\(n=\sqrt{m-184}+\sqrt{m+24}\)，則當\(n\)有最大值時，\(m\)之值為
。
2785
3.
方程式\(x^{4}+2(m-2)x^{2}+(m^{2}-5m+4)=0\)有相異4實根，求實數\(m\)的範圍為
。
\(0<m<1\)
4.
已知一函數\(f\)的定義域為所有正整數，如果\(f(1)=2026\)，且對任意正整數\(n>1\)，滿足條件\(f(1)+f(2)+\dots+f(n)=n^{2}f(n)\)，則\(f(2026)\)之值為
。
\(\displaystyle \frac{2}{2027}\)
5.
從\(1,2,3,\dots,15\)這15個正整數中，隨機挑選出三個相異數字\(a,b,c\)，且滿足\(a<b<c\)。求\(a\)與\(b\)至少相差3且\(b\)與\(c\)至少相差4的機率為
。
\(\displaystyle \frac{24}{91}\)
6.
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=2\)，如果\(\overline{BC}\)邊上有100個相異的點\(P_1\)、\(P_2\)、\(\dots\)、\(P_{100}\)，且設\(a_k=\overline{AP_k}^2+\overline{BP_k}\cdot\overline{P_kC}\)，其中\(k=1,2,\dots,100\)，則\(a_1+a_2+a_3+\dots+a_{100}\)之值為
。
400
7.
試求級數\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{2^k}\)的值為
。
\(\displaystyle6-\frac{n^2+4n+6}{2^n}\)
求\( \displaystyle \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+\frac{3^2}{3^3}+\frac{4^2}{3^4}+\frac{5^2}{3^5}+\ldots= \)？
(103大安高工，thepiano解題，下載20140507.doc
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=10863#p10863)
8.
試求\(\cos^280^\circ+\cos^2160^\circ+\cos80^\circ\cos160^\circ\)之值為
。
\(\displaystyle\frac{3}{4}\)
\( (cos10^{\circ})^2+(cos50^{\circ})^2-(sin40^{\circ})(sin80^{\circ})= \)？
(101中科實中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=2#pid5056)
二、計算證明題
1.
已知\(\triangle ABC\)的外接圓之面積為\(25\pi\)，令\(a,b,c\)分別為\(\triangle ABC\)的三個頂點\(A,B,C\)所對應的邊長。如果\(a^2+b^2=c^2\)，且\(\sin A\)及\(\sin B\)分別是方程式\((m+5)x^2-(2m-5)x+12=0\)（其中\(m>0\)）的二根，試求\(m,a,b,c\)的值。
\(m=20,a=6,b=8,c=10\)或\(m=20,a=8,b=6,c=10\)。
2.
試問\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{(n+k)\sqrt{nk+k^2}}\)之值為何？
\(\sqrt{2}\)
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
三、申論題
1.
數學學習中的發散思維，強調在解題時應注重不同的解法（即一題多解）。試請就下面題目給二種不同的證明：
已知\(a,b,c,d\)均為正數，且滿足\(a^2+b^2=1\)，\(c^2+d^2=1\)，試證：\(ac+bd\le1\)。
2.
在平面向量的研究中，給定一個三角形\(\triangle OAB\)，我們常以頂點為原點，將其餘兩頂點的觀測向量標記為\(\vec{OA}\)與\(\vec{OB}\)。現在學生在探究三角形三邊之兩兩向量的內積時，觀測並記錄了以下三個數值：\(\vec{OA}\cdot\vec{AB}=x\)、\(\vec{AB}\cdot\vec{BO}=y\)、\(\vec{BO}\cdot\vec{OA}=z\)
請根據上述情境，回答下列問題：
(1)請用給定的\(x,y,z\)來表示\(|\vec{OA}|^2\)及\(|\vec{OB}|^2\)。
(2)試以\(x,y,z\)來表示\(\triangle OAB\)的面積。
