一、填充題
1.
考慮有理數\(\displaystyle\frac{n}{m}\)，其中\(m\)、\(n\)為正整數且\(1\le mn\le9\)。則這樣的數值(例如\(\displaystyle\frac{1}{2}\)與\(\displaystyle\frac{2}{4}\)同值，只算一個)共有幾個
？
2.
坐標空間中有方向向量為\((1,2,2)\)的直線\(L\)、平面\(E_1\)：\(2x+3y+6z=12\)與平面\(E_2\)：\(2x+3y+6z=4\)。\(L\)被\(E_1\)、\(E_2\)所截線段的長度為
。
3.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=60^\circ,\angle B=45^\circ,\overline{AC}=2\)，試求\(\triangle ABC\)面積為
。
4.
已知多項式\(f(x)\)滿足\(f(3)=f'(3)=5\)，試求\(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{xf(3)-3f(x)}{x-3}=\)
。
5.
在複數平面上，複數\(z\)在第一象限且滿足\(|z|=1\)且\(\displaystyle\Bigg\vert\;\frac{-7+24i}{25}-z^3\Bigg\vert\;=\Bigg\vert\;\frac{-7+24i}{25}-z\Bigg\vert\;\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)，則\(z=\)
。
6.
設\(a\)，\(b\)為實數，\(f(x)\)為5次實係數多項式且其最高次項係數為\(a\)。若\(f(x)\)滿足\(\displaystyle\int_b^xf(t)dt=\frac{1}{2}(x^2+6x+10)^3-\frac{1}{2}\)，則數對\((a,b)=\)
。
7.
設\(\langle a_n\rangle\)為一等差數列。已知\(a_1+a_3+a_5=15,a_2+a_4+a_6=18\)。若\(S_n=a_1+a_2+\dots+a_n\)，則極限\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}=\)
。
8.
乘積\(\displaystyle\prod_{k=4}^{63}\frac{\log_k(5^{k^2-1})}{\log_{k+1}(5^{k^2-4})}=\frac{\log_4(5^{15})}{\log_5(5^{12})}\cdot\frac{\log_5(5^{24})}{\log_6(5^{21})}\cdot\frac{\log_6(5^{35})}{\log_7(5^{32})}\cdots\frac{\log_{63}(5^{3968})}{\log_{64}(5^{3965})}=\)
。
(2025AIME，
https://math.pro/db/thread-4118-1-1.html
連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_4)
9.
設\(\displaystyle\omega=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)。試求下列連乘積之值\(\displaystyle\prod_{k=0}^6(\omega^{3k}+\omega^k+1)=\)
。
Let\(\displaystyle\omega=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\), where\(i=\sqrt{-1}\).Find the value of the product\(\displaystyle\prod_{k=0}^6(\omega^{3k}+\omega^k+1)\).
(2023AIME II，連結有解答
https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_8)
10.
如右圖，設圓\(C_1\)：\(x^2+y^2=1\)、圓\(C_2\)：\(x^2+(y-3)^2=4\)、圓\(C_3\)：\((x-4)^2+y^2=9\)。若有一圓\(C_4\)和圓\(C_1,C_2,C_3\)均相內切，則圓\(C_4\)方程式為
。
半徑為1cm、2cm、3cm的三個圓互相外切，如圖所示。有一個圓落於它們之間，分別與這三個外切，求這個小圓的半徑。
(98國立清水高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=836&page=1#pid1604)
二、問答題
以下是本校學生解題時常犯的錯誤，請寫出錯誤之處（3分）並寫出正確答案（2分）（不需要寫算式）。
1.
自點\(P(-2,3)\)至圓\(2x^2+2y^2-4x+6y-2=0\)之切線段長為何？
甲同學的算式為：
將\(P(-2,3)\)代入圓方程式後開根號\(\sqrt{2(-2)^2+2\cdot3^2-4\cdot(-2)+6\cdot3-2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)。
2.
求通過點\((2,3)\)且兩軸截距相等的直線方程式？
乙同學的算式為：
由截距式設直線方程式為\(\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)，將點\((2,3)\)代入得\(\displaystyle\frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1\)。
且兩軸截距相等\(a=b\)，\(\displaystyle\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1\)，得到\(a=b=5\)，代回原式\(\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)。
直線方程式為\(x+y=5\)
3.
設數列\(\langle a_n\rangle\)滿足\(a_1=0\)，\(a_{n+1}=\sqrt[3]{16-a_n^3}\) \((n\in\mathbb{N})\)，則\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\)？
丙同學的算式為：
設\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_n=t\)，代入遞迴式得\(t=\sqrt[3]{16-t^3}\)，解方程式\(t^3=16-t^3\)，\(2t^3=16\)，\(t^3=8\)，\(t=2\)。
故\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=2\)。
4.
試求分式方程式\(\displaystyle\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}=\frac{x^3+4x^2+10x+11}{(x+1)(x+2)(x+3)}\)之所有實根。
丁同學的算式為：
兩邊同乘\((x+1)(x+2)(x+3)\)得：\((x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=x^3+4x^2+10x+11\)
左式展開\((x^2+5x+6)+(x^2+4x+3)+(x^2+3x+2)=x^3+4x^2+10x+11\)
移項整理\(x^3+x^2-2x=0\)
因式分解\(x(x+2)(x-1)=0\)
所有實根為\(x=0,-2,1\)
三、教學題
請以簡明扼要說明在課堂上你會如何引導學生直觀理解以下概念，只寫計算過程或證明不予計分。
1.
設\(\langle a_n\rangle\)為等差數列，\(S_n\)為其前\(n\)項的和，則\(S_n\)、\(S_{2n}-S_n\)、\(S_{3n}-S_{2n}\)為等差數列。
問題：除了代數證明，有沒有簡明扼要的方式說明這個性質。
2.
設坐標平面上\(A(x_1,y_1)\)與\(B(x_2,y_2)\)，點\(P(x,y)\)在\(\overline{AB}\)上，且\(\overline{AP}:\overline{PB}=m:n\)，則\(P\)坐標為\(\displaystyle\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)。
問題：為什麼公式是\(n\)乘上\(A\)坐標，\(m\)乘上\(B\)坐標（交叉相乘）。
3.
試求不定積分\(\displaystyle\int x(x^2-1)^{115}dx\)。
問題：利用變數變換，令\(u=x^2-1\)，為什麼需要求導算出\(\displaystyle\frac{du}{dx}=2x\)？這個步驟在積分變換中的意義是什麼？
4.
設\(k\ne0\)，\(y=\sin(kx)\)的週期為\(\displaystyle\frac{2\pi}{|k|}\)。
問題：如何直觀地向學生解釋，當三角函數的\(x\)乘上\(k\)倍時，週期反而是除以\(|k|\)。
