一、填充題
1.
將與105互質所有正整數由小到大排成一數列\(a_1,a_2,a_3,\dots\)，則\(a_{2026}=\)
。
將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？
(103桃園高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251)
2.
設\(x,y,z\)是有理數，且\(\displaystyle a=\log\frac{8}{25}\)，\(b=\log12\)，\(\log15=xa+yb+z\)，求數組\((x,y,z)=\)
。
3.
一袋中有3個白球，4個紅球，5個黑球。今自袋中取球，每次取一球，取後不放回，若每一球被取到的機會均等，則白球最先被取完，且紅球比黑球先被取完的機率為
。
4.
多項式\(f(x)\)的次數為10，且滿足\(\displaystyle f(k)=k+\frac{1}{k}\)，\(k=1,2,3,\dots,11\)。試求\(f(13)\)之值為
。
設\( f(x) \)是一個98次的多項式，使得\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)，\( k=1,2,...,99 \)。求\( f(100) \)的值？
(奧數教程 高一 第20講構造函數解題，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108)
5.
如圖，平面四邊形\(ABCD\)中，若已知\(\angle ACB=90^\circ\)，\(\angle ABD=\alpha\)，\(\angle ACD=\beta\)，且\(\overline{AB}=\overline{BD}\)。若\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\displaystyle \cos\beta=\frac{5}{13}\)，則\(\tan\angle ABC=\)
。
6.
設\(z\)為複數且\(|z|=1\)，則\(|z^3-3z-2|\)的最大值為
。
複數z滿足\( |\; z |\;=1 \)，求\( |\; z^3-3z-2 |\; \)的最大值和最小值及相應的複數z。
(奧數教程高二 第5講複數的概念與運算，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600)
7.
平面坐標上有一以原點為圓心的單位圓\(C\)，點\(P\)為圓\(C\)上動點，及一定點\(A(2,0)\)。以\(P\)點為中心，將\(A\)點逆時針旋轉\(90^\circ\)得點\(B\)，則點\(B\)的軌跡方程式為
。
8.
若\(x>0\)，則\(\displaystyle x^3+3x+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^3}\)的最小值為
。
9.
已知一組二維數據\((X,Y)\)，其相關係數為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)，且\(X,Y\)的標準差分別為1,2。若\(Z=X+Y\)，則\((X,Z)\)的相關係數為
。
10.
設多項式函數\(y=f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x)=-8x^3+33x^2-18x+\int_0^x f(t)dt\)，求\(f(x)=\)
。
11.
有一個均勻的正四面骰子，其四面點數分別為\(1,2,3,4\)。重複擲此正四面骰子，並觀察底面出現的點數，直到出現點數連續四次依序為\(1,2,3,4\)時停止，試問總投擲次數的期望值為
。
12.
在矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3,\overline{AD}=4\)，\(E\)為\(\overline{AB}\)上一點，且\(\overline{AE}=1\)，現將\(\triangle BCE\)沿\(\overline{CE}\)折起，使得\(B\)點在平面\(AECD\)的投影恰好落在\(\overline{AD}\)上，則四角錐\(B-AECD\)的體積為
。
二、計算證明題
1.
設實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{x+5=y+z\cr z^2+xy=3z-5}\)，試求\(x^2+y^2+xy\)的最大值及最小值。
2.
已知拋物線\(y=x^2\)的焦點為\(F\)，過\(y\)軸正向上一點\(M\)的直線\(L\)與拋物線交於\(A,B\)兩點，\(O\)為原點，\(\vec{OA}\cdot \vec{OB}=2\)。
(1)試證：直線\(L\)恆過一定點。
(2)設點\(F\)關於直線\(OB\)的對稱點為\(C\)，求四邊形\(OABC\)面積的最小值。
3.
設\(ABCD\)為圓內接四邊形，點\(P\)為其兩對角線的交點。\(P\)在\(AB,CD\)上投影點分別為\(E,F\)，\(\triangle ABP,\triangle CDP\)的外心分別為\(G,H\)，證明\(E,F,G,H\)四點共圓。
4.
已知實數函數\(f(x)\)滿足\(f(0)=1013\)，且\(f(x+5)-f(x)\le 3(x+3)\)以及\(f(x+15)-f(x)\ge 9(x+8)\)，對任意實數\(x\)皆成立，求\(\displaystyle \frac{f(2025)}{2026}=\)？
