一、填充題
1.
若\(m\)，\(n\)為正數，且\(m^3+8n^3+18mn=27\)，試求：\(m^3n\)的最大值為
。
試問滿足\( m^3+n^3+99mn=33^3 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解？(A)2 (B)3 (C)33 (D)35 (E)99
(102玉里高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847)
2.
\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，\(a,b,c,d\in\{0,1,-1,2\}\)，求\(A^{-1}\)不存在的機率為
。
\( A=\left[ \matrix{a & b \cr c & d} \right] \)，\( a,b,c,d \in \{ 0,1,-1,-2 \} \)，(1)\( A^2=[\ 0 ]\ \)的機率為 (2)\( A^{-1} \)不存在的機率為(答案皆須化簡)
(98家齊女中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501)
3.
正八面體\(ABCDEF\)的邊長為\(2\)，如圖，已知\(A\)為原點，\(A,D,E\)為\(xy\)平面上的點，\(B\)為\(yz\)平面上的點，則點\(B\)到\(y\)軸的距離=
。
(100北一女中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=2#pid5095)
4.
設橢圓曲線\(\Gamma\)：\(\displaystyle\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1\)與直線\(L\)：\(x=12\)。若\(A_0,F\)的坐標分別為\((6,0)\)、\((3,0)\)，在曲線\(\Gamma\)上另有11個點\(A_k,k=1,2,3,\ldots,11\)使得\(\angle A_0FA_1=\angle A_1FA_2=\dots=\angle A_{11}FA_0\)，令\(d_k\)為\(A_k\)到\(L\)的距離，試求\(\displaystyle\sum_{k=0}^{11}\frac{1}{d_k}=\)
。
5.
空間中若有一直線\(L\)：\(\displaystyle\frac{x-5}{3}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-4}{-2}\)同時與兩平面\(E_1\)及\(E_2\)平行，且到兩平面距離均為\(2\)。若已知原點同時通過\(E_1\)及\(E_2\)，試求兩平面夾角的正弦值
。
6.
試求所有定義在\(\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq\pm1\}\)上的函數\(f(x)\)，使其滿足\(\displaystyle f(x)+2f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)=x\)，\(f(x)=\)
。
7.
有一款手遊不定期推出促銷抽獎活動，其遊戲公司宣稱玩家抽中大獎的機率是\(10\%\)。設隨機變數\(X\)為連續抽獎直到抽中大獎才停止所需的抽獎次數，請以顯著水準\(\alpha=0.1\)計算抽獎次數\(X\)的拒絕域為
。
8.
若已知\(x-y=60^\circ\)，\(\cos^2x+\cos^2y\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，試求實數數對\((M,m)=\)
。
9.
設\(a\)為實數，若方程式\(x^2-(3a+1)x-2a+2=0\)有虛根\(z\)，且\(z^3\)為實數，則\(a\)值為
。
10.
給定座標平面上三點\(A(2,4),B(8,13),C(1,1)\)，若動點\(P\)滿足\(\vec{AP}\cdot\vec{BP}=|\vec{CP}|^2\)，則\(|2\vec{AP}+\vec{BP}|\)的最小值為
。
11.
若\(\vec{a}\)在\(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\)上的正射影分別為\((1,2,2),(2,3,6),(3,1,4)\)，則\(\vec{a}=\)
。
12.
給定一多項式函數\(\displaystyle f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{4}x+1\)，則\(\displaystyle\sum_{k=1}^{2026}f\left(\frac{k}{2026}\right)=\)
。
(我的教甄準備之路 同尾廂加乘為定值，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid25489)
二、計算證明題
1.
設\(\alpha,\beta\)是方程式\(a cos x+b sin x-c=0\)，(\(a^2+b^2\neq 0\))的相異兩根，且\(\alpha-\beta\neq k\pi,(k\in\mathbb{Z})\)，求證：\(\displaystyle \cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{c^2}{a^2+b^2}\)。
2.
試以兩種方法解下列這道題目，並說明你在上課時會傾向於使用哪一種方法向學生說明，為什麼？
題目：已知拋物線的焦點為\((2,-1)\)，對稱軸平行\(y\)軸，且通過點\((-1,3)\)，則此拋物線的方程式為何？
3.
設\(a,b,c\)為實數，已知\(b,c\)是關於\(x\)的方程式\(x^2+(a-2)x+a^2-a-2=0\)的兩根，試回答下列問題：
(1)\(a\)值的範圍。
(2)\((a+1)^3+b^3+c^3\)的最小值。
