3.
如右圖，直角三角形\(ABC\)中，\(\angle B=90^{\circ}\)，\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{BC}=12\)，有兩個大小相同的圓彼此相切，且各自跟三角形\(ABC\)斜邊及一股也相切，則兩圓的外公切線段長為
。
在一勾九寸、股十二寸的直角三角形內，有兩個直徑相同的圓，彼此相切，與邊也相切，如圖所示。試求這兩個相同圓的半徑。
(103新北市高中聯招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1913&page=1#pid10884)
5.
設兩數列\(\langle\; a_n\rangle\;\)、\(\langle\; b_n\rangle\;\)的首項分別為\(a_1=5\)、\(b_1=1\)，且\(a_{n+1}=a_n+2b_n\)，\(b_{n+1}=2a_n+b_n\)，\(n\)為任意正整數，則一般項\(a_n=\)
。
(我的教甄準備之路 數列一般項，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)
設有二個首項皆為1的數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)，且對於所有的自然數n，\( \displaystyle \cases{a_{n+1}=a_n-2 b_n \cr b_{n+1}=a_n+4 b_n} \)恆成立，則\( a_n= \)？
(高中數學101 P339，高中數學101修訂版 P340)
(99安樂高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1008&page=1#pid2451)
6.
使不等式\(|\;C_1^n(-3)^2+2C_2^n(-3)^3+3C_3^n(-3)^4+\ldots+nC_n^n(-3)^{n+1}|\;<10^5\)成立的最大正整數\(n\)為
。
7.
圓內接四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=3\)，\(\overline{CD}=4\)，\(\overline{DA}=5\)，若\(\vec{AC}=m\vec{AB}+n\vec{AD}\)，則數對\((m,n)=\)
。
8.
已知\(\triangle ABC\)的三邊長為\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{CA}=6\)。若\(H\)為\(\triangle ABC\)之垂心，則\(\overline{AH}=\)
。
9.
\(\alpha,\beta,\gamma\)為複數，在複數平面上對應的點分別為\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)，滿足\(\alpha^2+3\beta^2+4\gamma^2-2\alpha\gamma-6\beta\gamma=0\)及\(|\;\alpha-\beta|\;=10\)，則\(\triangle ABC\)的面積為
。
\(\alpha,\beta\)為兩複數，滿足\(\beta^2-2\alpha \beta+4\alpha^2=0\)，且\(|\;\alpha-\beta|\;=2\sqrt{3}\)，若\(\alpha,\beta\)在複數平面上所代表的點為\(A,B\)，而\(O\)是複數平面的原點，則\(\Delta OAB\)的面積為
。
(100全國高中聯招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1163&page=4#pid4522)
10.
已知\(x>1\)且\(y>4\)，則\(\displaystyle \frac{y^2}{x-1}+\frac{x^2}{y-4}\)之最小值為
。
12.
設實係數多項式\(f(x)=ax^3+bx^2-cx-d\)，已知方程式\(f(x)=0\)的三個根分別為\(\displaystyle cos\frac{2\pi}{7}\)、\(\displaystyle cos\frac{4\pi}{7}\)、\(\displaystyle cos\frac{6\pi}{7}\)，則\(20log_2 a-2log_2 b-6log_2 c-12log_2 d=\)
。
例2
求以\(\displaystyle cos\frac{2\pi}{7},cos\frac{4\pi}{7},cos\frac{6\pi}{7}\)為根的三次方程，從而求以下二式的值。
\(\displaystyle cos\frac{2\pi}{7}+cos\frac{4\pi}{7}+cos\frac{6\pi}{7}\)
\(\displaystyle cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{6\pi}{7}\)
【解】
考慮\(cos 4\theta=cos3\theta\)，即\(4\theta=-3\theta+2m\pi\)(\(m\)為任意整數，\(4\theta\)應是\(\pm 3\theta+2m\pi\)，這裏只取負號的情形)，或\(\displaystyle \theta=\frac{2}{7}m\pi\)。
由倍角公式，得
\(\begin{aligned}
\cos 4\theta
&=cos^4 \theta - C^4_2 cos^{4-2} \theta sin^2 \theta + C^4_4cos^{4-4}\theta sin^4 \theta \\
&=cos^4 \theta - 6 cos^2 \theta sin^2 \theta + sin^4 \theta \\
&=cos^4 \theta - 6 cos^2 \theta(1- cos^2 \theta)+(1-cos^2 \theta)^2 \\
&=8 cos^4 \theta - 8 cos^2 \theta + 1
\end{aligned}\)
但因(已知)\(cos 3\theta=4 cos^3 \theta - 3 cos \theta\)
故由\(cos 4\theta=cos 3\theta\)，得\(8 cos^4 \theta-8 cos^2 \theta+1=4 cos^3 \theta-3 cos \theta\)
令\(x=cos \theta\)，即得方程\(8x^4-8x^2+1=4x^3-3x\)
它的四個根可令\(m=0,1,2,3\)，得到：\(\displaystyle x=1,cos \frac{2\pi}{7},cos \frac{4\pi}{7}, cos \frac{6\pi}{7}\)。
又因為\(8x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3x + 1=(x - 1)(8x^3 + 4x^2 - 4x - 1)\)
故以\(\displaystyle cos\frac{2\pi}{7},cos\frac{4\pi}{7},cos\frac{6\pi}{7}\)為根的方程為\(8x^3+4x^2-4x-1=0\)
由韋達公式，得
\(\displaystyle cos\frac{2\pi}{7}+cos\frac{4\pi}{7}+cos\frac{6\pi}{7}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle cos\frac{2\pi}{7}cos\frac{4\pi}{7}cos\frac{6\pi}{7}=-\frac{-1}{8}=\frac{1}{8}\)
(神奇的複數 如何利用複數解中學數學難題P80)
14.
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為實數且滿足\(\cases{0\le a+b+c\le 4\cr -2\le 4a+2b+c\le 2\cr -4\le 9a+3b+c\le 0}\)。若\(a-2b+4c\)的最大值與最小值分別為\(M\)與\(m\)，則數對\((M,m)\)為
。
15.
設\(x\)、\(y\)為兩實數，若\(x^2+2xy+2y^2=1\)，則\(x^2+y^2\)的最大值為
。
(100文華高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1095&page=4#pid3263)
16.
空間中有四個平面：\(E_1\)：\(x+y+z=0\)、\(E_2\)：\(x+y+z=6\)、\(E_3\)：\(x+y+z=18\)、及\(E_4\)：\(x-y+z=0\)，若在平面\(E_4\)上有一正三角形\(ABC\)，而點\(A\)、\(B\)、\(C\)也分別在平面\(E_1\)、\(E_2\)、\(E_3\)上，則\(\triangle ABC\)的面積為
。
