一、填充題
4.
設\(k>0\)，若方程式\((x+ki)^6=64i\)(其中\(i=\sqrt{-1}\))有實數解，則所有\(k\)的可能值總和為
。
8.
空間中有四個點\(O,A,B,C\)，其中三向量\(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\)兩兩夾角皆為\(30^\circ\)，已知\(\quad |\vec{OA}|=3,\quad |\vec{OB}|=4,\quad |\vec{OC}|=5\)，則 \(\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}\)張出的
四面體體積為
。
空間中有四個點\(O\)、\(A\)、\(B\)、\(C\)，其中三向量\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)兩兩夾角皆為\(45^{\circ}\)，已知\(|\;\vec{OA}|\;=\sqrt{2}\)、\(|\;\vec{OB}|\;=\sqrt{3}\)、\(|\;\vec{OC}|\;=\sqrt{6}\)，求\(\vec{OA}\)、\(\vec{OB}\)、\(\vec{OC}\)張出的四面體體積為
。
(110彰化女中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3514&page=1#pid22759)
9.
已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴式\((2-a_{n+1})(4+a_n)=8\)，且\(\displaystyle a_1=\frac{1}{2}\)，則\(\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}\)的一般式為
。(以\(n\)表示)
(我的教甄準備之路 求數列一般項，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)
二、計算證明題
2.
請分別針對「高一」、「高二」、「高三」的學生，各提供一種講解此題的方法。
\(\bbox[border:1px solid black]{設點P為\Gamma：\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+2x+3上之一點，A(1, -1),B(3, 2)為\Gamma外之兩點，試求\triangle ABP面積之最小值。}\)
3.
小綠解一道題目：
\(\bbox[border:1px solid black]{空間中兩點A(-1, -8, 9)、B(-17, 13, 1)，設直線L：\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{2}上有一動點P，試求\overline{PA}+\overline{PB}之最小值，並求出此時P點坐標為何？}\)
小綠的解題過程：
先求\(A,B\)在\(L\)上的投影點\(A'(1,0,3)\)、\(B'(-5,-3,-3)\)，以及\(A\)對\(L\)之對稱點\(C(3, 8, -3)\)，因為\(\overline{PA}=\overline{PC}\)，所以最小值\(\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{PC}+\overline{PB} \ge \overline{BC}=21\)，
因為\(\triangle AA'P \sim \triangle BB'P\)，且\(\overline{AA'}=2\sqrt{26}\)，\(\overline{BB'} = 4\sqrt{26}\)，\(\overline{CP} : \overline{PB} =\overline{PA} : \overline{PB}=\overline{AA'} : \overline{BB'}=1 : 2\)，所以由內分點公式可得\(\displaystyle P(-\frac{11}{3}, \frac{29}{3}, -\frac{5}{3})\)。
(1) 如果您是小綠的老師，請指出錯誤之處？該如何向她解釋？
(2) 請解出正確的答案。
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)
