1.
設雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b,b>0)\)的右焦點為\(F\)，過\(F\)作與\(x\)軸垂直的直線\(L\)，\(L\)與兩條漸近線分別交於\(A\)、\(B\)兩點，\(P\)是\(L\)與雙曲線的一個交點，設\(O\)為原點，若有實數\(m\)、\(n\)使得向量\(\vec{OP}=m\vec{OA}+n\vec{OB}\)，且\(\displaystyle mn=\frac{2}{9}\)，則：\(\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\)
。
4.
若實數\(x,y\)滿足：\(4x^2-4xy+2y^2=1\)，則：\(3x^2+xy+y^2\)的最大值與最小值的和為
。
[解答]
\(4x^2-4xy+2y^2=1\)，\(\displaystyle 4\left(x^2-xy+\frac{y^2}{4}\right)+y^2=1\)，\(\displaystyle 4\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+y^2=1\)
令\(\displaystyle x=\frac{1}{2}(sin\theta+cos\theta),y=cos\theta,0\le \theta\le 2\pi\)代入\(3x^2+xy+y^2\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}(sin\theta+cos\theta)^2+\frac{1}{2}(sin\theta+cos\theta)\cdot cos\theta+cos^2\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}(1+2sin\theta cos\theta)+\frac{1}{2}sin\theta cos\theta+\frac{1}{2}cos^2\theta+cos^2\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}+\frac{3}{4}sin2\theta+\frac{1}{4}sin2\theta+\frac{3}{2}cos^2\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{4}+sin2\theta+\frac{3}{2}\cdot \frac{1+cos2\theta}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}+sin2\theta+\frac{3}{4}cos2\theta\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}+\frac{5}{4}sin(2\theta+\alpha)\)
最大值\(\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)，最小值\(\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{5}{4}=\frac{1}{4}\)，和為\(\displaystyle \frac{11}{4}+\frac{1}{4}=3\)
6.
\(m,n\)為正整數，則滿足：\(\sqrt{m+\sqrt{m^2-n}}+\sqrt{m-\sqrt{m^2-n}}=6\)的所有\(n\)的總和為
。
7.
已知\(x,y\in \mathbb{R}^+\)，則\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2x}\right)^2\)的最小值為
。
8.
已知一圓內接15 邊形，且圓心在此15 邊形內部。從此15 邊形中任取3 個頂點可構成一個三角形，則所構成的三角形中最多有
個鈍角三角形。
類似問題
https://math.pro/db/thread-519-1-1.html
9.
將\((x-\sqrt{3})^{50}+(x+1)^{50}\)展開後可得多項式\(a_{50}x^{50}+a_{49}x^{49}+a_{48}x^{48}+\ldots+a_1x+a_0\)，設\(a_0-a_2+a_4-a_6+\ldots+a_{48}-a_{50}\)之值為\(k\)，試求：\(log_4|\;k|\;=\)
。
10.
設複數\(z_1,z_2\)滿足：\(|\;z_1|\;=|\;z_1+z_2|\;=3\)，\(|\;z_1-z_2|=3\sqrt{3}\;\)，則：\((z_1\cdot \overline{z_2})^{2025}+(\overline{z_1}\cdot z_2)^{2025}=\)
。
(2008TRML團體賽，100家齊女中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1122&page=2#pid9356)
第二大題：計算與證明題
3.
已知函數\(f(x)=sin^{12}x+cos^{12}x\)。若\(f(x)\)的最小值為\(m\)、最大值為\(M\)，試求：\(m\)及\(M\)各為何？
