一、填充題
6.
兩數列anbn，滿足a1=2，b1=1，且an+1=5an+3bn+7，bn+1=3an+5bn，nN，試求an的一般式。

thepiano所提到同類型的題目要一起準備，你有準備嗎？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7959

9.
ABCD為平行四邊形且點EF分別落在ABBC邊上。若AED的面積等於7、EBF的面積等於3、  CDF的面積等於6。則DEF的面積為何？

E,F分別在矩形ABCD的邊BC,CD上，若ABE,ECF,AFD的面積分別為3,1,2，則AEF的面積是　　。
(103桃園高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1949&page=1#pid11257)

10.
求極限limnn(n!)3(3n)! 的值。
[解答]
先計算取ln的極限
limnlnn(n!)3(3n)!=limnn1lnn!n!12n(n+1)(n+2)(n+n)12n(2n+1)(2n+2)(2n+n) 
=limnn1ln12n(n+1)(n+2)(n+n)+limnn1ln12n(2n+1)(2n+2)(2n+n) 
=limnn1nk=1lnkn+k+limnn1nk=1lnk2n+k 
=limnn1nk=1lnkn1+kn+limnn1nk=1lnkn2+kn 
=01lnx1+xdx+01lnx2+xdx 
寫成瑕積分
=lima0+a1lnx1+xdx+lima0+a1lnx2+xdx 
分部積分公式udv=uv−vdu 

u=lnx1+x ，du=x1+xx21(x)−(1+x)1=−1x(x+1) dv=1，v=1+x \displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{1+x}{x}\right)(1+x)\Bigg\vert\;_a^1-\int_a^1 (1+x)\cdot \frac{-1}{x(x+1)}dx \right] \displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{1+x}{x}\right)(1+x)\Bigg\vert\;_a^1+\int_a^1 \frac{1}{x}dx \right] \displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{1+x}{x}\right)(1+x)\Bigg\vert\;_a^1+ln(x)\Bigg\vert\;_a^1 \right] \displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[2ln2-ln\left(\frac{1+a}{a}\right)(1+a)+ln1-ln(a)\right] \displaystyle =2ln2-\lim_{a\to 0^{+}}\left[(ln(1+a)-ln(a))(1+a)+ln(a)\right] \displaystyle =2ln2-\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln(1+a)+aln(1+a)-ln(a)-aln(a)+ln(a)\right] \displaystyle =2ln2-0 \displaystyle =2ln2

\displaystyle u=ln\left(\frac{2+x}{x}\right)，\displaystyle du=\frac{x}{2+x}\cdot \frac{1(x)-(2+x)1}{x^2}=\frac{-2}{x(x+2)} dv=1，v=2+x \displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{2+x}{x}\right)(2+x)\Bigg\vert\;_a^1-\int_a^1 (2+x)\cdot \frac{-2}{x(x+2)}dx \right] \displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{2+x}{x}\right)(2+x)\Bigg\vert\;_a^1+2\int_a^1 \frac{1}{x}dx \right] \displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[ln\left(\frac{2+x}{x}\right)(2+x)\Bigg\vert\;_a^1+2ln(x)\Bigg\vert\;_a^1 \right] \displaystyle =\lim_{a\to 0^{+}}\left[3ln3-ln\left(\frac{2+a}{a}\right)(2+a)+2ln1-2ln(a)\right] \displaystyle =3ln3-\lim_{a\to 0^{+}}\left[(ln(2+a)-ln(a))(2+a)+2ln(a)\right] \displaystyle =3ln3-\lim_{a\to 0^{+}}\left[2ln(2+a)+aln(2+a)-2ln(a)-aln(a)+2ln(a)\right] \displaystyle =3ln3-2ln2 \displaystyle =ln27-2ln2

=2ln2+ln27-2ln2
=ln27
∵\displaystyle \lim_{n\to \infty}ln \root n \of {\frac{(3n)!}{(n!)^3}}=ln27
∴\displaystyle \lim_{n\to \infty}\root n \of {\frac{(3n)!}{(n!)^3}}=27






\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}ln\left(\frac{(2n)!}{n^n n!}\right)？
https://math.stackexchange.com/q ... sum-of-log-function

二、計算證明題
1.
若方程式x^3+2x^2+3=0之三根為\alpha,\beta,\gamma，求\displaystyle |\;(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta})(\frac{1}{\beta}-\frac{1}{\gamma})(\frac{1}{\gamma}-\frac{1}{\alpha})|\;之值為？

感謝Ellipse提醒，公式要缺x^2項
x^3+px+q=0的三根為\alpha,\beta,\gamma則(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2=-4p^3-27q^2
證明，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=164&page=2#pid18936

3.
a,b,c皆正，且a+b+c=3，試證\displaystyle \frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge \frac{3}{2}
中一中合作盃金頭腦第37次有獎徵答，檔案有解答