高中數學一題（三倍角公式的應用）

求滿足方程組y=4x3−3xz=4y3−3yx=4z3−3z的實數(xyz)。
(北京市1990年奧賽集訓題)
分析：
方程組中的每一個方程式類似於三倍角公式cos3=4cos3−3cos。這就給我們提供了數學模型，但x、y、z均不能大於1。

解：
若x1，由y=4x3−3x=x3+3x(x2−1)，知yx，同理zy，xz，則互相矛盾，所以x、y、z均小於等於1，設x=cos，0 ，則原方程式可化為y=cos3z=cos9x=cos27即cos=cos27。
解方程式cos−cos27=0。sin13sin14=0。sin13=0或sin14=0，=k13，k=01213，=k14，k=1213。
∴(xyz)=(coscos3cos9)共27個解。


103.8.7補充類題
這些都是輪換的聯立方程式，可是解法卻差很多，你能否比較其中的差異呢？
為什麼前面的題目知道用三角函數代換，而接下來的題目卻不用？那你能不能判斷什麼時候要用三角函數什麼時候不用？不用三角函數的話還有什麼方法可以解這類聯立方程式？
若x=12z21+36z2y=12x21+36x2z=12y21+36y2，則x+y+z=
(101中正高中，https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html)

解方程組1+x2=2y1+y2=2z1+z2=2x。

103.8.28補充
求聯立方程組x+x1=yy+y1=zz+z1=x之實數解。
(88全國高中數學能力競賽(二)台南一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

109.5.23補充
已知實數abc滿足a(4−b)=4b(4−c)=4c(4−a)=4，則a+b+c=　　　。
(109中正預校，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3325&page=3#pid21184)

111.3.22補充
設abc皆為整數，試求滿足方程組ab+5=cbc+1=aca+b=1的所有解(abc)=　　　。
(110高中數學能力競賽第四區筆試二，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)