102 台南一中

6.
有一正三角形ABC，令D點為BC邊上一點，則三角形ACD的內切圓半徑為三角形ABD內切圓半徑的兩倍，則請問ABBD=？
[解答]
設正三角形ABC邊長為1，BD=x，DC=1−x
餘弦定理AD=12+x2−1xcos60=x2−x+1 
三角形ACD的內切圓半徑為2r，三角形ABD內切圓半徑為r
21(1+x+AD)r21(1+1−x+AD)2r=ACDABD=x1−x

1+x+x2−x+12(2−x+x2−x+1)=x1−x

平方展開整理後得8x4−7x3−2x2+x=0

x(x−1)(8x2+x−1)=0，x=0116−133 

ABBD=1633−1 

圖形很像的類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=913&page=1#pid1930

102.6.15補充
感謝YAG提醒，第二行分母少個2
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1628&page=4#pid8520

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-6-15 09:33 PM 編輯 ]