102內湖高中

3.
ABC，cosA:cosB:cosC=25:39:(−3)，求a:b:c
[解答]
cosC=cos(−(A+B))=−cos(A+B)=−cosAcosB+sinAsinB=−cosAcosB+(1−cos2A)(1−cos2B) 

cosC+cosAcosB=1−cos2A−cos2B+cos2Acos2B 

cos2C+2cosAcosBcosC+cos2Acos2B=1−cos2A−cos2B+cos2Acos2B

2cosAcosBcosC+cos2A+cos2B+cos2C−1=0

令cosA=25t，cosB=39t，cosC=−3t

代入上式得2(25t)(39t)(−3t)+(25t)2+(39t)2+(−3t)2−1=0

5850t3−2155t2+1=0
(45t−1)(130t2−45t−1)=0　(我用數學軟體算出來的)
另外兩根為t=−0020953819317376，t=036710766547122
當t=−002時，cosAcosB都是負的，∠A∠B大於90
當t=036時，cosB=39036=1404
所以另兩根都不合

t=145

cosA=4525=95　，　cosB=4539=1513　，　cosC=45−3=−115

sinA=9214 　，　sinB=15214 　，　sinC=15414 

a:b:c=5:3:6


105.1.17補充一題
三角形ABC中，已知cosA:cosB:cosC=25:19:7，求sinA:sinB:sinC=？

112.7.11補充
\Delta ABC中，sinA:sinB:sinC=3:5:7，求cosA:cosB:cosC=　　　。
(112羅東高工，https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html)