102文華高中

2.
求下列的級數和：12+(12+23)+(12+23+34)++(12+23+34++(n−1)n)

類題
1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)++17(1+3+6++153)=？
(101中正高中二招，https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)

因為102文華高中這題問的是一般項，用差分來算的話最後會得到aC0n+bC1n+cC2n+dC3n+eC4n，整理答案時因式分解反而又變得更麻煩


11.
設f(ab)=(61−a−28b)2+(62−a−29b)2+(60−a−30b)2+(58−a−31b)2+(59−a−32b)2，當f(ab)有最小值時，求此時數對(ab)=？
[解答]
對f(ab)的a偏微分得
2(61−a−28b)(−1)+2(62−a−29b)(−1)+2(60−a−30b)(−1)+2(58−a−31b)(−1)+2(59−a−32b)(−1)
=−2[(58+59+60+61+62)−5a−(28+29+30+31+32)b]
=−2(300−5a−150b)=−10(60−a−30b)=0
得a=60−30b代入原式
(61−60+30b−28b)2+(62−60+30b−29b)2+(60−60+30b−30b)2+(58−60+30b−31b)2+(59−60+30b−32b)2
=(1+2b)2+(2+b)2+(−2−b)2+(−1−2b)2
=10b2+16b+10=10(b+54)2+518
當b=−54，a=60−305−4=84時，f(ab)有最小值


類題
Find the minimum value of 2x2+2y2+5z2−2xy−4yz−4x−2z+15 for real numbers x, y, z.
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，http://www.artofproblemsolving.c ... d=166&year=2006)

這題可以湊成完全平方式求得最小值，假若一時之間看不出來該怎麼湊的話
分別對x,y,z作偏微分，三個式子解出來的x,y,z就會讓原式有最小值
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1924