114竹科實中

已知各項皆為正整數的數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)且對任意正整數\(n\)，\(\sqrt{S_n}=\lambda(a_n-1)+1\)，\(\lambda\)為正實數。若\(2a_2=a_1+a_3\)，試求：數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項。
[解答]
計算第2題答案是:
a(n)=2n-1。
討論過程很繁複，也許我沒找到比較簡潔的方式，看有沒有哪位高人能夠用簡潔的方式足夠嚴謹得到答案，但基本上我不會把這題認定為是在考試中可以做的題目。
過程大致上為:

1. 先整理λ的表達式:λ=(√S(n) -1)/(a(n)-1)，這裡n≧2時都成立，n=1時則分母可能為0(事實上的確為0)。
由λ為定值，對兩個n值(n≠1)討論之後，可得S(n)必為完全平方數，因此λ為有理數。

2. 令S(n)=t(n)^2，因此a(n)=t(n)^2-t(n-1)^2，其中每一個t(n)皆為正整數。
帶入式子整理之後可得到:
(2λt(n)-1)^2=(2λt(n-1))^2+(2λ-1)^2，對每一個n都成立
其中λ是有理數，因此可把上面這方程整理成整數方程(畢氏方程)。
因2λ-1是定值，若2λ-1≠0，則滿足此方程的正整數t(n)、t(n-1)只有有限多個解(畢氏數)，
但滿足此式子的每個t(n)都相異且有無限多個，矛盾。因此2λ-1=0，
且同時會得到t(n)=t(n-1)+1，

3. 把λ=1/2代入式子，且令n=1討論，得到兩種結果:a(1)=1或 λ=1/(√a(n) +1)
第二種結果對應λ=1/2，一樣得到a(1)=1，因此t(1)=1，t(n)=n，a(n)=n^2-(n-1)^2=2n-1。