填充 B - 7 ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷  化簡後共有幾項?

解: ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷ = [ a + (b + c) ] ²⁰¹⁷+ [ a - (b + c) ] ²⁰¹⁷

化簡後剩 (b + c) 取偶次方者 = 1+3+5+...+2017 = 1009² = 1018081 項。

填充 A - 2 另解

取捨原理: 4⁴ - 3*2*4² + 2² = 164


填充 A - 7 另解

設 A 在 BC 上的垂足為 A'，令 AA' = A'C = x

tan∠BAD = tan(∠BAA' - ∠DAA') = x / (x²+3x+4) [ x>0 ] ⇒ 最大值 = 1/7


計算 1

除了 eyeready 老師提出的方法，另可用 1. 先求垂足  2. 向量投影長  3. 由面積求高

填充 B - 6 參照 8# laylay 老師 和 28# thepiano 老師 的精解。

目標: 把 f(2017) 用 f(2013)，f(2014)，f(2015) 表示 -- 因三個函數值決定一個二次以下的多項式函數，這個計畫是合理的。

作法: 用拉格朗日插值法即可。又，依本題數據特性，可用 巴貝奇定理 或 差分。

例如: 令 f(2013)，f(2014)，f(2015)，f(2016)，f(2017) 依序為 a，b，c，d，e

a - 3b + 3c - d = 0 ...(1)

b - 3c + 3d - e = 0 ...(2)

(1) 代入 (2)

e = 3a - 8b + 6c ⇒ e 最大值 39

填充 B - 2  另解:

以 1-a, 1-b, 1-c, 1-d 為 4 根的方程式為:

(1-x)⁴ + 8(1-x)³ - 2(1-x)² + k(1-x) - 5 = 0

由條件和根與係數關係知， x 項係數 = 0

⇒ -4 -24 + 4 - k = 0

⇒ k = -24

填充 B - 5 另解 (基於題目的數字較小)


令 P(n) 表示 " 取球次數 = n " 的機率，則:

P(3) = 3!*(1/5)*(2/4)*(2/3) = 2/5

P(5) = P(第5顆是綠球) = 1/5

P(4) =1 - P(3) - P(5) = 2/5

所求 = 3*(2/5) + 4*(2/5) + 5*(1/5) = 19/5