計算證明題 3.

也可以用算幾不等式。

填充題 4. 實數 p, q, r ≥ 0，且 p + q + r = 1，已知 x = p + 3q + 4r，y = 2p + q + 3r，求點 (x, y) 所圍成的圖形面積。


以下構想請看是否正確。

由題意，有下列向量線性關係:

(x, y) = p*(1, 2) + q*(3, 1) + r*(4, 3)，p, q, r ≥ 0，p + q + r = 1

⇒ 所求即頂點為 (1, 2)，(3, 1)，(4, 3) 的三角形面積

⇒ 由公式求得 5/2

回復 25# laylay 的帖子

感謝 laylay 老師提供的證明。

這個解法是這樣聯想到的:

考慮平面上相異三點 O, A, B，若 C 點滿足:

向量OC = p*向量OA + q*向量OB，p, q ≥ 0，p + q = 1

則 C 點軌跡為 AB 線段。


推廣至空間成為:

空間中相異四點 O, A, B, C，若 D 點滿足:

向量OD = p*向量OA + q*向量OB + r*向量OC，p, q, r ≥ 0，p + q + r = 1

則 D 點軌跡為 △ABC 及其內部 (含退化為線段情形)。


本題可視為空間中相異四點 O, A, B, C 共面的情況。

回復 27# tsusy 的帖子

因為不會輸入漂亮的對數符號，當時就沒寫了。當初的構思過程如下:

原題即證:

1 / log_n (n-1) > log_n (n+1)

⇔ 1 > [ log_n (n-1) ]*[ log_n (n+1) ]

因同底的對數相乘沒有搞頭，相加則有，故想到算幾不等式 (各項皆正):

√(上式右式) < { [ log_n (n-1) ]+[ log_n (n+1) ] } /2 = [ log_n (n²-1) ] /2 < [ log_n (n²) ] /2 = 1，從而得證。

基本上同 eyeready 老師的方法。

計算證明題 3. 試證：log_(n-1) n > log_n (n+1) , n > 2 , n ∈ N。

拼湊一個基於直觀的 "另證" 如下。

想法: 以 n 為底的指數函數值變化速率，較以 (n-1) 為底者"快"。當兩者同予以指數 "1" 時，其指數函數值分別為 n 與 (n-1)。現在函數值要再"增加1"，當然是以 n 為底者較快達成，即如待證式含義。  基於這個思維，可以用 "1" 作為待證式中左右兩式的起點，而比較之。

證明: (注意到底數 >1)

左式 -1

= [ log_(n-1) n ] -1

= log_(n-1) [n/(n-1)]

> log_(n-1) [(n+1)/n)]  (∵真數變小)

> log_n [(n+1)/n)]  (∵底數變大)

= [ log_n (n+1) ] -1

= 右式 -1


得證。