等角點落在以MN為弦的一側圓弧上。
利用類似線性規劃的想法，圓與OB相切於P時，∠MPN最大，此時O在圓外。
由圓冪性質，OP² = OM*ON = 40
OP = 2√10

(題目可否不限制∠AOB是銳角?)

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"等角點" 與 "類似線性規劃" 是我自己的說法，不好意思還讓您花時間去 google。

圖示如下:

104台北市陽明高中填充第10題.png (3.47 KB)

2015-6-4 20:33

在直線 OA 右下區的半平面上，滿足 ∠MPN = ∠MQN 的所有 Q 點都位於圓弧MPN上(不含 M, N)，其逆亦真。

我們先從 M, N 之間的點 S 出發 (此時 ∠MSN = 180°)，往右下漸漸縮小∠MSN 的值 (圓半徑漸小→MN成為直徑→圓半徑漸大)，過程中當圓第一次接觸 OB 時的點 (切點) 就是所求的 P 點。

利用圓冪性質，OP² = OM*ON，因此 OP = 2√10。

(題目限制∠AOB是銳角似乎是多餘的?)

另外，我覺得題目最好把 "OB 邊上" 改為"OB 射線上"，依題目的圖和敘述， "OB 邊" 似可解讀為"一線段"，這樣會有毛病。