計算證明題4.
設數列an滿足an=01(1−x2)2ndx ，n=0123。
(1)證明：an=nn+1an−2n2。
(2)試求limnanan+1的值。
[解答]
計算4(1)
an=01(1−x2)n2dx 
   =02cosndsin(=02cosn+1d )
   =cosnsin02+02ncosn−1sin2d 
   =n02cosn−1(1−cos2)d 
   =n02cosn−1d−n02cosn+1d 
   =nan−2−nan
整理得
an=nn+1an−2



計算4(2)
考慮 020cos1cosn 遞減an 遞減
即 anan+2anan+1an+1an+1=1
又因 limnanan+2=1
由夾擠定理得 limnanan+1=1

計算證明題2.
在坐標平面上，ABC三點形成直角三角形，其中C=90 ，AB=60，又過A與B兩點的中線方程式分別為y=x+2021與y=2x+110。試求三角形ABC的面積。
[解答]
計算2另解
設 BC=2a，中點為 MA、AC=2b，中點為 MB、重心為 G，
tanMAGB=2−11+21=31，sinAGB=110、a^{2}+b^{2}=900
由中線定理得
\overline{AM_{A}}^{2}=3b^{2}+900、\overline{BM_{B}}^{2}=3a^{2}+900
由 \displaystyle \Delta AGB=\frac{1}{3}\Delta ABC 得
\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\overline{AM_{A}}\times \frac{2}{3}\overline{BM_{A}}\times \sin{AGB}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times (2a)\times(2b)
整理得 ab=200，
\Delta ABC=\frac{1}{2}\times (2a)\times(2b)=2ab=400

如圖

tan兩線夾角\displaystyle =\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}