112竹東高中

設ab為非負整數，ab=1，且k=ab−1a2+ab+b2為非負整數。求所有可能的k值為何？

沒人解答計算3，我來試試看一個方法，但最後還有點不完整，也順便就教於各位老師。

(ab)=(00) 為顯然解就不討論了
假設 ab
設b=1，則 a−1a2+a+1 且 a−1a−1，可得 a−12a+1a−13，得 a=24
設b=2，則 2a−1a2+2a+4 且 2a−12a−1，可得 a−15a+82a−121，得 a=2411

同理，如果直接用 b 來算，可得 ba−1a2+ab+b2 且 ba−1ba−1，可得 ba−1b4+b2+1
而 b4+b2+1=(b2+b+1)(b2−b+1)，可以得出 ba−1=1b2+b+1b2−b+1b4+b2+1a=2bb+1+2bb−1+2bb3+b+2b
所以 b 只能為1或2

但事實上，b 可以等於4
在 b=4 時，b4+b2+1=273=2113，而因為21可以拆成37，讓 4a−1 有了其他組合而產生解(a=1023)

我不知道怎麼說明 b4 之後，就不會有解（或者 b=4 為唯一的特例）