第一題
看三角形 ABB1
AA1是內角平分線， BA1 是外角平分線，
所以 B1A1 是外角平分線
於是 A1B1C1=90o 

第五題
抱歉，開不了你的附檔，圖形回去再附
假設角B內部的旁切圓圓心為 O2
假設角C內部的旁切圓圓心為 O1

對三角形ABD以PFH為截線使用孟式定理得到 PDAPFBDFHABH=1

又 BF=BH ，所以  PDAP=DFAH

對三角形ACD以PGE為截線使用孟式定理得到 PDAPECDEGACG=1

又 CE=CG ，所以  PDAP=DEAG

於是  DFAH=DEAG  =  DEDF=AGAH

不難證明三角形 AGO1 與三角形 AHO2 相似，

AGAH=AO2AO1

由  O1E 與  O2F 都垂直BC，故得證

第五題，給有興趣的共同研究
先不要做PA直線
令直線AB和EG交於K，直線AC和FH交於L；
AB跟圓 O1 切於M，AC跟圓 O2 切於N。

(1)首先證明A、M、B、K是調和點列
如果可以看出這是圓錐截痕的橢圓，A、B是長軸兩端點，M、K是對應的焦點與準線，
那麼由定義就有 AKAM=BKBM  即可得知。
或是這樣
AM=AG，BM=BE
AKAG=sinAKGsinAGK

BEBK=sinBEKsinBKE

而 AGG+BEK=180o 

所以 AKAG=BEBK

故得證A、M、B、K是調和點列

(2) 同理A、N、C、L是調和點列
故A關於MN和KL兩線的極線是BC，那麼MN、KL、BC三線共點

(3)
MK和NL交於A，EK和FL交於P，再令EM和FN交於Q，
由笛薩格定理得到，A、P、Q三點共線

(4)
MEB=21ABC

BF=BH ，所以   BFH=90o−21ABC

故EQ和PF垂直；
同理FQ和PE垂直，故Q為三角形PEF的垂心，PQ與BC垂直。

不好意思，讓你有這種誤解，我先拿掉

分成(1)與一股垂直和(2)與斜邊垂直
(1)假設GI與AC垂直，交AC於F
那麼GI與BC平行，就有 IF=r=32EC

2a+b−c=32abb+c

4ab=3(ab+ac+b2−c2)

ab=3ac−3a2

3a+b=3c

9a2+6ab+b2=9c2=9a2+9b2

3a=4b  =  a:b=4:3

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-14 11:09 PM 編輯 ]