第 2 題
設\(f(x)\)為定義在區間\((0,\infty)\)上的嚴格遞增函數，且對任意的\(x>0\)，\(\displaystyle f(x)\cdot f(\frac{1}{x}+f(x))=1\)均成立，試求\(f(1)=\)？
[解答]
f(x) * f(1/x + f(x)) = 1
f(1) * f(1 + f(1)) = 1
令 f(1) = k
k * f(1 + k) = 1
f(1 + k) = 1/k

f(1 + k) * f(1/(1 + k) + f(1 + k)) = 1
f(1/(1 + k) + 1/k) = k = f(1)
1/(1 + k) + 1/k = 1
k = (1 + √5)/2 或 (1 - √5)/2

當 k = (1 + √5)/2，f(1 + k) = 2/(1 + √5) < 1 < k = f(1)，不合

第 7 題
三角錐\(A-BCD\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{AD}\)，\(\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{BD}\)。若\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心，且\(\overline{DG}=1\)，試求三角錐\(A-BCD\)的體積最大值為？
[解答]
作 AM 垂直平面 BCD 於 M；GN 垂直平面 BCD 於 N
設 AM = h，則 GN = h/3
作 DE 垂直 BC 於 E
設 BC = x，NE = (1/3)ME = (1/3)(1/3)DE = (1/9)DE
DN = (8/9)DE = (8/9)(√3/2)x = (4√3/9)x
GN = √(DG^2 - DN^2) = √[1 - (16/27)x^2]

A-BCD 體積 = (h/3)(√3/4)x^2 = √(3/16)x^4 - (1/9)x^6]
微分可知，當 x^2 = 9/8 時，體積有最大值 9/32