第 1 題
從sin72sin74sin76sin78sin710sin712中任選四項相乘，試求所有這些乘積的總和。
[解答]
sin7θ = -64(sinθ)^7 + 112(sinθ)^5 - 56(sinθ)^3 + 7sinθ

以 sin(2π/7)、sin(4π/7)、sin(6π/7)、sin(8π/7)、sin(10π/7)、sin(12π/7) 為六根的方程式為
-64x^6 + 112x^4 - 56x^2 + 7 = 0
所求 = (-56)/(-64) = 7/8

第 4 題
在44的方格中隨機挑選8格，令隨機變數X為被挑選格子所佔滿的直行與橫列總數。試求X的期望值。
[解答]
先選 1 直行或 1 橫列，有 8 種選法，再從剩下的 12 格中挑 4 格，有 C(12，4) 種方法
所求  = 8 * C(12，4) / C(16，8)

感謝寸絲老師指正，做的時候，沒發現 CD 不過第一象限

不過 C’A + AB + BD’ = C’D’ + 2AB

第 11 題
小明在8週的假期中，每天至少吃1片餅乾，但每週吃不超過13片餅乾。試證明必有連續若干天中，小明恰吃了7片餅乾。
[解答]
若一週 7 天，每天依序吃 7、1、1、1、1、1、1 片餅乾
這樣有 “連續” 若干天中，小明恰吃了 7 片餅乾嗎？
若有算
設前 n 天吃的餅乾數為 S_n
1 ≦ S_1 < S_2 < S_3 < S_4 < S_5 < S_6 < S_7 ≦ 13
若 S_1 ~ S_7 中有一個為 7，得證
若 S_1 ~ S_7 中沒有 7，這七個數除以 7 的餘數必為 1 ～ 6 其中之一
由鴿籠原理，其中必有兩數除以 7 的餘數相同，得證

先計算直行或橫列的總數，再除以個數，就是平均，也就是期望值
這樣做已同時計入您說的兩種狀況