第 8 題
設三次方程式5x3−5(k+1)x2+(71k−1)x+1−66k=0的三個根均為自然數，求自然數k為多少？
[解答]
5x^3 - 5(k + 1)x^2 + (71k - 1)x + (1 - 66k) = 0
(x - 1)[5x^2 - 5kx + (66k - 1)] = 0

令 a、b 為 5x^2 - 5kx + (66k - 1) = 0 的兩自然數根
a + b = k
ab = (66k - 1)/5 = (66a + 66b - 1)/5
b = (66a - 1)/(5a - 66)

若 a 為偶數，66a - 1 為奇數，而 5a - 66 為偶數，不合
故 a 為奇數

又 66a - 1 ＞ 0，5a - 66 ＞ 0，a ≧ 15
a = 17 時，b = 59
k = a + b = 76

β 應是 17

第 5 題
ABC中，設AB:AC:BC=3:5:7。令I為ABC的內心，直線AI交ABC外接圓於另一點D，試求IDAD的值。
[解答]
設內切圓和 AB 切於 P，易知 AP = 1/2，IP = √3 / 2，AI = 1
設 AI 和 BC 交於 E，易求出 AE = 15/8，BE = 21/8，CE = 35/8
利用圓幂定理可求出 DE = 49/8
AD = AE + DE = 8，ID = AD - AI = 7

第 9 題
已知4條拋物線1：y=x2+a，2：y=−x2−a，3：y2=x−a，4：y2=−x−a，其中a為正實數，若任相鄰兩條拋物線均相切，試求這4條拋物線所圍成之區域面積。
[解答]
y = x^2 + a，y = x，y^2 = x - a 會相切於同一點 (1/2，1/2)
可求出 a = 1/4

所求為 y = x^2 + 1/4，y = x，y 軸三者所圍成的面積 * 8

第 3 題
將6個編號為1到6號的小球放入編號為1到5號的盒子中，不允許有空盒，且任意一個小球都不能放在有相同編號的盒子內(球號與盒子編號不同)，則共有多少種不同的放法？
[解答]
先挑 1 個盒子放 2 球，其餘都放 1 球，有 5 種方法

假設 1 號盒放 2 球，分成以下兩種情況
(1) 2 球是 2 ~ 5 號中的其中 2 球，有 C(4，2) = 6 種方法
假設是 2、3 號球，剩 1、4、5、6 號球放入 2、3、4、5 號盒中，有 4! - 3! * 2 + 2! = 14 種方法
(2) 2 球中有 1 球是 6 號球，另 1 球是 2 ~ 5 號中的其中 1 球，有 C(4，1) = 4 種方法
假設是 2、6 號球，剩 1、3、4、5 號球放入 2、3、4、5 號盒中，有 4! - 3! * 3 + 2! * 3 - 1 = 11 種方法

所求 = 5 * (6 * 14 + 4 * 11) = 640