5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
EX=6133+61265EX+3+6165EX+2+65EX+1 

原來題意沒有指定特定的點數，所以小弟的答案應該要再除以6才是正解43

5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
小弟修正一下自己的算式
  EX=6123+6165EX+2+65EX+1EX=43 

cefepime 兄，這種期望值結合遞迴的妙解令人大開眼界啊

2.
因應武陵高中校慶，校方準備了m個禮物要在n天發完，發法如下；第一天先發一個，再從剩餘的m−1個禮物選71送出去；第二天先送出兩個，再從剩餘的禮物中挑71發出去。按照此發法，在第n天的時候發出n個剛好全部發完，請問數對(mn)=？
[解答]
設第k天頒完後，剩ak個禮物
  a0=man=0ak=76ak−1−kak−1=67ak+km=a0=1+267+3672++n67n−1=n−67n6n−1+367n6n−1=1n−66n−1mNn=6m=36

引用:

原帖由 agan325 於 2016-4-18 10:34 AM 發表
計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解，周長為2013的三角形 ，有多少個？
(2) 邊長是正整數解，周長為2016的三角形，有多少個？

這是整數分拆的難題，兩者答案都是84672個

先丟出1個點數後，接下來有5/6的機率丟出跟此點數不同的點數，視為重新丟出1個點數，但期望值多1

填充第1題
設2n1999，試問有多少個正整數n，使得存在大於1的正整數ab且滿足logan=b？
[解答]
a^b = n，a>1，b>1，2 ≦ n ≦ 1999
(1) b = 2，a = 2 ~ 44，計 43 個
(2) b = 4、6、8、10，a^b = n 都是平方數，與 (1) 同，不計
(3) b = 3，a = 2 ~ 12，扣掉 4^3 = 8^2 和 9^3 = 27^2，計 9 個
(4) b = 5，a = 2 ~ 4，扣掉 4^5 = 32^2，計 2 個
(5) b = 7，a = 2，計 1 個
(6) b = 9，a = 2，2^9 = 8^3，不計
所求為 43 + 9 + 2 + 1 = 55 個

填充第4題
設xyz為正整數，且xyz=21232，求x+y+z可以被4整除的機率。
[解答]
xyz=21232
數對(x，y，z)有H312H23組
x+y+z是4的倍數，有以下三種情形
(1)三者都是4的倍數：有H63H23種情形
(2)只有1個是4 的倍數，另2個只是2的倍數而非4的倍數：有C23H23種情形
(3) 1個是2123，另2個是1和3：有3!種情形
所求  =H312H23H63H23+C23H23+3!=9132

計算證明題2.
已知ABC的A= 和內切圓半徑r為定值，請問在此條件下，ABC的周長最小為何？
[解答]
周長為2rcot2A+cot2B+cot2C 

只要考慮cot2B+cot2C何時有最小值

令2B=x+y2C=x−y
x=\frac{B+C}{4},y=\frac{B-C}{4}
\begin{align}   & \cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2} \\ & =\cot \left( x+y \right)+\cot \left( x-y \right) \\ & =\frac{1-\tan x\tan y}{\tan x+\tan y}+\frac{1+\tan x\tan y}{\tan x-\tan y} \\ & =\frac{2\tan x\left( 1+{{\tan }^{2}}y \right)}{{{\tan }^{2}}x-{{\tan }^{2}}y} \\ \end{align}
由於\tan x是定值，故\tan y=0，即B=C時，\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}有最小值