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2023 第 10 題
設實數\(a\)、\(b\)、\(c\)滿足\(abc\ne 0\)、\(a\ne 1\)、\(b\ne 1\)、\(c\ne 1\)且\(a+b+c=112\)、\(\displaystyle \frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=1\)，則\(a^2+b^2+c^2+8(1-a)(1-b)(1-c)\)的值為 。
[解答]
a / (1 - a) + 1 + b / (1 - b) + 1 + c / (1 - c) + 1 = 4
1 / (1 - a) + 1 / (1 - b) + 1 / (1 - c) = 4
(1 - b)(1 - c) + (1 - a)(1 - c) + (1 - a)(1 - b) = 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)
2[(1 - b)(1 - c) + (1 - a)(1 - c) + (1 - a)(1 - b)] = 8(1 - a)(1 - b)(1 - c)
所求 = a^2 + b^2 + c^2 + 2[(1 - b)(1 - c) + (1 - a)(1 - c) + (1 - a)(1 - b)]
展開計算 ......
2023 第 11 題
在三角形\(ABC\)中，已知\(\angle A=3\angle C\)、\(AB=5cm\)、\(BC=11cm\)，如下圖所示，則\(AC=\) \(cm\)。
[解答]
∠C = θ，∠A = 3θ
5 / sinθ = 11 / sin3θ
求出 sinθ
AC / sin(π - 4θ) = 5 / sinθ
AC / sin4θ = 5 / sinθ
AC / 4sinθcosθcos2θ = 5 / sinθ
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2023 第 12 題
在三角形\(ABC\)中，已知\(AB=AC\)、\(\angle A=40^{\circ}\)且\(P\)為\(AB\)上一點，如下圖所示。若\(\angle ACP=20^{\circ}\)，則\(\displaystyle \frac{BC}{AP}\)的值為 。
[解答]
∠BPC = 60 度
令 AP = 1
1 / sin20 度 = PC / sin40 度
PC = 2cos20 度
BC / sin60 度 = PC / sin70 度 = 2cos20 度 / sin70 度
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2024 第 12 題
已知\(ABCD\)是一個圓內接四邊形，且\(AB=AD\)。點\(E\)為\(ABCD\)的兩條對角線交點，且點\(F\)在\(AC\)上使得\(\angle BFC=\angle BAD\)，如圖所示。若\(\angle BAD=2\angle DFC\)且\(BD=24cm\)，則\(BE\)的長度為 \(cm\)。
[解答]
△BAD 和 △BFC 相似
AB = AD，FB = FC
∠BAD = 2θ
∠FCD = ∠ABD = ∠ADB = ∠FCB = 90 度 - θ
又 ∠DFC = θ，∠FDC = 90 度
作 ∠BFC 的平分線 FG 交 BC 於 G
△FGC 和 △FDC 全等
BC = 2GC = 2DC
BE / DE = BC / DC
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