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計算第 1 題
已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊為\(a\)、\(b\)、\(c\)(\(a\ne b\))，且\(\angle A=\alpha\)，\(\angle B=\alpha-2\beta\)；有另一個\(\triangle A'B'C'\)，\(\angle A'\)、\(\angle B'\)、\(\angle C'\)的對邊為\(a'\)、\(b'\)、\(c'\)，且\(\angle A'=\alpha-\beta\)，\(\angle B'=\beta\)，其中\(0^{\circ}<2\beta<\alpha<180^{\circ}\)
試證明：\(\displaystyle \frac{a'^2+c'^2-b'^2}{b'^2+c'^2-a'^2}=\frac{a+b}{a-b}\)
(證明題，8分。請勿將\(\alpha,\beta\)以帶入特別角的方式進行驗證)
[解答]
(a’^2 + c’^2 - b’^2) / (b’^2 + c’^2 - a’^2)
=2a’c’cos β / [2b’c’cos(α - β)] ，餘弦定理
= a’cos β / [b’cos(α - β)]
= sin(α - β)cos β / [sin βcos(α - β)]，正弦定理
= (1/2)[sin α + sin(α - 2 β)] / {(1/2)[sin α + sin(2 β - α)]}，積化和差
= [sin α + sin(α - 2 β)] / [sin α - sin(α - 2 β)]
= (a + b) / (a - b)，正弦定理
