第 5 題
設\(\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}\)，且滿足：\(sin\alpha\cdot cos\beta+|\;cos\alpha\cdot sin\beta|\;=sin\alpha \cdot |\;cos\alpha|\;+|\;sin\beta|\;\cdot cos\beta\)，則：\((tan\gamma-sin\alpha)^2+(cot\gamma-cos\beta)^2\)的最小值為　　　。
[解答]
sinα * cosβ + |cosα * sinβ| = sinα * |cosα| + |sinβ| * cosβ
(sinα - |sinβ|)(cosβ - |cosα|) = 0
令 sinα = a，cosβ = b
[(a - √(1 - b^2)][b - √(1 - a^2)] = 0
a^2 + b^2 = 1

又 tanγ * cotγ = 1

(tanγ - sinα)^2 + (cotγ - cosβ)^2 即 xy = 1 上一點到 x^2 + y^2 = 1 上一點距離的平方
最小值 = (√2 - 1)^2 = 3 - 2√2

第 8 題
已知一圓內接15 邊形，且圓心在此15 邊形內部。從此15 邊形中任取3 個頂點可構成一個三角形，則所構成的三角形中最多有　　　個鈍角三角形。
[解答]
315 是圓內接”正” 15 邊形的 15 個頂點，任選 3 個連成的鈍角三角形個數
而這題是一般的圓內接 15 邊形
由於圓心在其內部，最少有 13 個銳角三角形，最多有 442 個鈍角三角形

正確

填充第 3 題
等差數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)。已知\(a_1=10\)，\(a_2\)為整數，且對所有的正整數\(n\)，\(S_n\le S_4\)恆成立。若\(\displaystyle b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}\)，則：\(b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{10}=\)　　　。
[解答]
a_1 = 10，a_2 是整數，表示公差是整數
S_n <= S_4，表示 a_5 <= 0 且公差是負整數
易知公差 = -3
剩下的就裂項相消

計算第 2 題
已知各項皆為正整數的數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的前\(n\)項和為\(S_n\)且對任意正整數\(n\)，\(\sqrt{S_n}=\lambda(a_n-1)+1\)，\(\lambda\)為正實數。若\(2a_2=a_1+a_3\)，試求：數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的一般項。
[解答]
(1) 2a_2 = a_1 + a_3
√S_n = λ(a_n - 1) + 1

√S_2 - √S_1 = λ(a_2 - a_1) = λ(a_3 - a_2) = √S_3 - √S_2
2√S_2 = √S_1 + √S_3

(2) a_2 = a_1 + d，a_3 = a_1 + 2d
4S_2 = S_1 + S_3 + 2√(S_1S_3)
4(2a_1 + d) = a_1 + 3a_1 + 3d + 2√[a_1(3a_1 + 3d)]
d = 2a_1，a_2 = 3a_1，a_3 = 5a_1

(3) λ = (√S_2 - 1) / (a_2 - 1) = (√S_3 - 1) / (a_3 - 1)
(√4a_1 - 1) / (3a_1 - 1) = (√9a_1 - 1) / (5a_1 - 1)
a_1 = 1，λ = 1/2
√S_n = (1/2)(a_n - 1) + 1

(4) S_n - S_(n - 1) = a_n = 2√(S_n) - 1
(√(S_n) - 1)^2 = S_(n - 1)
√S_n = √[S_(n - 1)] + 1
√S_n = n
S_n = n^2
a_n = S_n - S_(n - 1) = n^2 - (n - 1)^2 = 2n - 1