第 7 題
求滿足\((a+bi)^{2002}=a-bi\)的實數數對\((a,b)\)有　　　組。
[解答]
z = a + bi，z' = a - bi
z^2002 = z'
|z| = |z'| = |z^2002| = |z|^2002
|z|(|z|^2001 - 1) = 0
|z| = 0 or |z| = 1

(1) |z| = 0，(a，b) = 0

(2) |z| = 1
z^2003 = z' * z = |z|^2 = 1
(a，b) 有 2003 個解

所求 = 1 + 2003 = 2004

第 4 題
袋中有5張紙牌，其中有2張標記為「5點」，另外3張標記為「4點」，今從袋中隨機取出2張紙牌，若2張紙牌點數不同，則結束取牌；若2張紙牌點數相同，則將紙牌放回，並繼續取牌，直到2張紙牌點數不同，則結束取牌。試問取出紙牌之點數總和的期望值為　　　。
[解答]
放回的紙牌有計算點數嗎？

若有的話
E(X) = (6/10)(5 + 4) + (1/10)(E(X) + 5 * 2) + (3/10)(E(X) + 4 * 2)
E(X) = 44/3
跟官方的答案不同？

計算 C
坐標平面上，若四邊形的四個頂點都在函數\(f(x)\)上，則稱此四邊形為\(f(x)\)的內接四邊形。已知函數\(f(x)=x^3+ax\)的圖形有唯一一個內接正方形，求\(a\)之值為何？
[解答]
f(x) = x^3 + ax 對稱於原點
內接正方形 ABCD 的中心亦為原點 O

設 A(p，q)、B(q，-p)、C(-p，-q)、D(-q，p)，其中 p > q > 0
可得
q = p^3 + ap
-p = q^3 + aq

a = (q - p^3)/p = (-p - q^3)/q
q/p - p^2 = -p/q - q^2
p^2 - q^2 = p/q + q/p

令 t = p/q > 1
a = [(q - p^3) + (-p - q^3)] / (p + q)
= -(p^2 - pq + q^2) - [(p - q)/(p + q)]
= -[(p^2 - pq + q^2)/(p^2 - q^2)](p/q + q/p) - [(p - q)/(p + q)]
= -[(t^2 - t + 1)/(t^2 - 1)](t + 1/t) - [(t - 1)/(t + 1)]
= -(t^4 + 1)/(t^3 - t)
= -(t^2 + 1/t^2)/(t - 1/t)
= -[(t - 1/t)^2 + 2]/(t - 1/t)
≦ -2√2

等號成立於 t - 1/t = √2
此時 a = -2√2

計算 E (1)
用\(|\;S|\;\)表示集合中元素的個數。已知集合\(\displaystyle S=\{\;\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{113} \}\;\)，\(T=\{\;A \subseteq S|\; |\;A|\;=2n,n\in N\}\;\)，試回答下列問題：
(1)\(|\;T|\;=\)？
(2)\(\forall A_i\in T\)，將\(A_i\)中所有的元素相乘的乘積記為\(m_i\)，再將所有的\(m_i\)相加，其和為\(M\)，求\(M\)之值？
[解答]
集合 S 有 112 個元素
集合 T 的元素是集合 S 中含有偶數個元素的子集(不含空集合)
所求 = C(112，2) + C(112，4) + C(112，6) + ... + C(112，112) = 2^111 - 1