計算第 4 題
試證明\(a\)、\(b\)的方程式\(2^a-3^b=1\)恰有二組非負整數解。
[解答]
(1) a = 1，b = 0
(2) a = 2，b = 1
(3) a > 2
2^a ≡ 0 (mod 8)
b 是正奇數，3^b + 1 ≡ 4 (mod 8)
b 是正偶數，3^b + 1 ≡ 2 mod 8)
無解

負整數部分就不寫了

計算第 6 題
設\(f(1)=-1\)，\(\displaystyle f(2)=-\frac{1}{2}\)，對所有大於等於3的整數\(n\)，\(f(n)\)滿足：\(n\cdot f(n)=(n-1)\cdot f(n-1)+f(n-2)\)。試求\(f(n)\)。
[解答]
n[f(n) - f(n - 1)] = - [f(n - 1) - f(n - 2)]
g(n) = f(n) - f(n - 1)
g(n)/g(n - 1) = -1/n
[g(3)/g(2)][g(4)/g(3)]……[g(n)/g(n - 1)] = (-1)^n * [1/(n!/2)] = (-1)^n * (2/n!)
g(2) = f(2) - f(1) = 1/2
g(n) = (-1)^n * (1/n!)

g(3) = f(3) - f(2) = -1/3!
g(4) = f(4) - f(3) = 1/4!
:
:
g(n) = f(n) - f(n - 1) = (-1)^n * (1/n!)
f(n) = -1/2 - 1/3! + 1/4! - …… + (-1)^n * (1/n!)

計算第 3 題
試找出所有函數\(f\)：\(R\to R\)，滿足\(\forall x,y\in R\)，\(f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy\)。
[解答]
x = y = 0 代入，可得 f(0) = 0
x = y = k (k 是實數) 代入，可得 f(k) = k^2
f(x) = x^2