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第 6 題
設\(A\)為二階方陣，\(I\)為二階單位方陣，\(A^T\)為\(A\)的轉置矩陣。已知\(A^T A=AA^T=I\)且\(detA>0\)，\(A\left[\matrix{3 \cr 4}\right]=\left[\matrix{4\cr 3}\right]\)，則矩陣\(A\)可將直線\(x+y=7\)對應到的圖形方程式為 。
[解答]
矩陣 A 把 點(3，4) 變換到 點(4，3)，detA > 0，(A^T)A = A(A^T) = I
可知 A 是旋轉矩陣
利用和角公式可求出
A =
[24/25 7/25]
[-7/25 24/25]
點(3，4) 和 點(4，3) 在 x + y = 7 上
矩陣 A 把 點(3，4) 變換到 點(4，3)
矩陣 A 把 點(4，3) 變換到 點(117/25，44/25)
利用點斜式可求出 31x + 17y = 175
第 7 題
在空間坐標系中，已知\(\overline{AB}\)的中點為\((2,3,4)\)，且\(\overline{AB}=10\)，若動點\(P\)滿足\(\vec{PA}\cdot \vec{PB}=1\)，且\(P\)點到直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-8}{2}=\frac{y-9}{1}=\frac{z-10}{-2}\)的最短距離為 。
[解答]
向量 PA˙向量 PB = PA * PB * cosθ = 1
由餘弦定理 PA^2 + PB^2 - 2 * PA * PB * cosθ = AB^2
PA^2 + PB^2 = 102
P(x，y，z)、A(2 + a，3 + b，4 + c)、B(2 - a，3 - b，4 - c)
AB^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 = 100， a^2 + b^2 + c^2 = 25
PA^2 + PB^2 = (x - 2 - a)^2 + (y - 3 - b)^2 + (z - 4 - c)^2 + (x - 2 + a)^2 + (y - 3 + b)^2 + (z - 4 + c)^2 = 102
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2 = (√26)^2
(2，3，4) 到直線 L：(x - 8)/2 = (y - 9)/1 = (z - 10)/(-2) 的最短距離 = 2√26
所求 = 2√26 - √26 = √26
