1.
在銳角
ABC中，
AD、
BE、
CF分別為三邊
BC、
AC、
AB上的高。設
ABC的內切圓、外接圓分別為
r、
R，
EDF與
ABC的周長分別為
l1、
l2。求證：
l2l1=rR。
[解答]
A、B、D、E 四點共圓
∠CDE = ∠CAB
△CDE 和 △CAB 相似
DE/EC = AB/BC
DE = AB * (EC/BC) = ABcosC
同理 EF = BCcosA，FD = CAcosB
設 △ABC 外心 O
作 OX 垂直 BC 於 X，OY 垂直 CA 於 Y，OZ 垂直 AB 於 Z
△ABC = (1/2)(BC * OX + CA * OY + AB * OZ)
= (1/2)(BC * RcosA + CA * RcosB + AB * RcosC)
= (R/2)(BC * cosA + CA * cosB + AB * cosC)
= (R/2)(EF + FD + DE)
= (R/2)l_1
又 △ABC = (r/2)l_2
(R/2)l_1 = (r/2)l_2
l_1/l_2 = r/R
