清大

1. 考慮完全平方數除以 5 的餘數只有 0、1、4 三種情形

2. 題目應該抄錯了，通常就暴力乘開

3. a、b、c 應是相異整數
f(x) -100 = (x - a)(x - b)(x - c)q(x)

(1) (k - a)(k - b)(k - c)q(k) = 1
取 k - a = m，k - b = 1/m，其中 m ≠ 0、1、-1
k - c = n，q(k) = q(c + n) = 1/n，其中 n ≠ m、0、1、-1

(2) (t - a)(t - b)(t - c)q(t) = 1 = 1 * 1 * 1 * 1 = 1 * 1 (-1) * (-1) = (-1)(-1)(-1)(-1)
t - a、t - b、t - c 不可能完全相異

4.
(1) y = (5x - k)/13，代入 x^2 - 2xy + 5y^2 = 41
利用判別式 = 0，可求出 k = 41 or -41

(2) 即求 5x - 13y = -41 和 5x - 13y = 138 兩平行線之距離

交大
1.
假設\(f(x)\)是定義在實數線\(R\)上不恆為零的函數，且滿足關係式\(f(2)=2\)和對任意的實數\(a\)與\(b\in R\)，\(f(a\cdot b)=a\cdot f(b)+b\cdot f(a)\)；以及對所有自然數\(n\in N\)，定義\(\displaystyle a_n=\frac{f(2^n)}{n}\)和\(\displaystyle b_n=\frac{f(2^n)}{2^n}\)。
(1)請試求\(f(0)\)和\(f(1)=\)？
(2)請證明數列\(\{\;a_n \}\;\)是等比數列並求出公比。
(3)請證明數列\(\{\;b_n \}\;\)是等差數列並求出公差。
(4)請問函數\(f\)是奇函數、偶函數還是都不是以上二者？請證明！
[解答]
(1) f(0) = f(0 * 0) = 0
f(1) = f(1 * 1) = f(1) + f(1)，f(1) = 0

(2)(3) 先證出 f(2^n) = n * 2^n，就可得到
a_n / a_(n-1) = 2
b_n - b_(n-1) = 1

(4) f(1) = f((-1)(-1)) = -f(-1) - f(-1)，f(-1) = 0
f(-x) = f(x * (-1)) = xf(-1) - f(x) = -f(x)

2.
將1到50這50個正整數平分甲乙兩組，每組各25個數。對於正整數\(k\)，若\(M(k)\)為甲組的中位數比乙組中位數小\(k\)的分法，請回答下面問題：
(1)若已知甲組中位數比乙組中位數小1，請問甲組的最大值比乙組的最小值大47且乙組的最大值比甲組的最小值也大47的機率為何？
(2)請試求\(M(k=2)\)為何？
(3)請試求最大正整數\(k\)，使得\(M(k)\)不是0？
[解答]
(1) a = 25，b = 26

(i) 若甲最大 50，乙最小 3，可得到甲最小 1，乙最大 48
乙再從 4 ~ 24 這 21 個數中選 11 個，從 27 ~ 47 這 21 個數中選 11 個
有 [C(21，11)]^2 種

(ii) 若乙最大 50，甲最小 3，可得到乙最小 1，甲最大 48
也有 [C(21，11)]^2 種

(2)
k = b - a = 2，b = a + 2
甲從 1 ~ a - 1 這 (a - 1) 個數中選 12 個，剩 (a - 13) 個數給乙
若加上 a + 1 這個數，所以乙最多只能從 (a - 12) 個數中選 12 個數
a - 12 ≧ 12，a ≧ 24

a = 24，b = 26
a = 25，b = 27
符合題意

(3)
a 最小 13，b 最大 38，此時 k 有最大值 25

計算量還好

x^2 - 2xy + 5y^2 = 41

x^2 - 2x[(5x - k)/13] + 5[(5x - k)/13]^2 = 41

等號兩邊同乘以 13^2

169x^2 -26x(5x - k) + 5(5x - k)^2 = 41 * 169

164x^2 -24kx + (5k^2 - 41 * 169) = 0

D = (-24k)^2 - 4 * 164 * (5k^2 - 41 * 169) = 0

576k^2 - 3280k^2 + (4 * 41 * 13)^2 = 0

(52k)^2 = (4 * 41 * 13)^2

k = 41 or -41