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第五題 (20 分)志明和春嬌參加一項野外活動營，活動期間分別進行了A、B兩種遊戲。A、B遊戲的場地都是環形，其上方分別有七個踏板，依順時針方向編號0至6。遊戲進行者都是從0號踏板出發，每投擲一次骰子後，即按照骰子出現的點數(1點至6點)前進。A遊戲進行者依順時針方向前進，B遊戲進行者依逆時針方向前進。舉例來說，如果A遊戲進行者在2號踏板，那在擲出3點後則前進至5號踏板。如果B遊戲進行者在1號踏板，在那擲出5點後則前進至6號踏板。A遊戲完成的規則是要回到0 號踏板，B遊戲完成的規則是要經過所有踏板至少一次(出發點這一次不算)。假設骰子是公平的(即每一面出現的機率均為61)，且每次投擲均為獨立事件。
(1) (4 分) 春嬌和志明同時參加A遊戲，兩人輪流擲骰子依序前進(也就是某一個人擲出骰子前進後，換另一個人擲骰子前進)，並由志明擲出第一次。請問志明先完成遊戲的機率是多少？
(2) (8 分) 志明參加A遊戲，平均要擲多少次骰子才能完成遊戲？
(3) (8 分) 春嬌參加B遊戲，平均要擲多少次骰子才能完成遊戲？
(註：(1)、(2)、(3) 作答時請簡述理由或寫下計算過程，只提供答案不給分。)
[解答]
(1)
兩人都無法在第一擲就完成遊戲
接下來每一擲，兩人都有 1/6 的機率能完成遊戲，有 (5/6) 的機率無法完成遊戲
志明先完成遊戲的機率 = 1/6 + (5/6)^2 * (1/6) + (5/6)^4 * (1/6) + ...... = 6/11
(2)
志明無法第一擲完成遊戲，會停在 1 ~ 6 號踏板的其中一個
設志明停在 1 ~ 6 號踏板的其中一個時，能完成遊戲的期望次數是 E(X)
接下來每一擲，志明有 1/6 的機率能完成遊戲，有 (5/6) 的機率無法完成遊戲
E(X) = 1 * 1/6 + [E(X) + 1] * 5/6
E(X) = 6
所求 = 6 + 1 = 7 次
(3)
春嬌在第一擲和第二擲後會停在不同的踏板
第三擲，春嬌有 5/6 的機率踩在之前未踩過的踏板，期望次數 6/5
當未踩過的踏板剩 4 個時，春嬌有 4/6 的機率停在之前未踩過的踏板，期望次數 6/4
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所求 = 1 + 1 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 157/10 次
