第 8 題
\(x+y+z=2024\)，且\(\displaystyle \frac{x}{2021}=\frac{y}{2024}=\frac{z}{2027}\)，則\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\)　　　。
[解答]
x = 2021k，y = 2024k，z = 2027k
x + y + z = 6072k = 2024
k = 1/3

y = 2024/3，x = y - 1，z = y + 1

x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
= (y - 1)^3 + y^3 + (y + 1)^3 - 3y(y - 1)(y + 1)
= 9y
= 6072

第 16 題
圓\((x-1)^2+(y+2)^2=23\)與直線\(y=x+k\)交於\(A,B\)兩點，\(O(0,0)\)，已知\(\angle AOB=90^{\circ}\)，求\(k\)之值　　　。
[解答]
y = x + k 代入 (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 23，可得
2x^2 + (2k + 2)x + (k^2 + 4k - 18) = 0

A(a，a + k)、B(b，b + k)
OA 和 OB 垂直
ab + (a + k)(b + k) = 0
2ab + (a + b)k + k^2 = 0
k^2 + 4k - 18 - (k + 1)k + k^2 = 0
k = 3 or -6