計算第1題
設方程式\(x^3-2x^2-3x+1=0\)之三根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)，試求以\(\displaystyle \frac{\alpha-1}{2\alpha+3}\)、\(\displaystyle \frac{\beta-1}{2\beta+3}\)、\(\displaystyle \frac{\gamma-1}{2\gamma+3}\)為三根之三次方程式。
[提示]
\(\begin{align}
  & y=\frac{x-1}{2x+3} \\
& x=\frac{3y+1}{1-2y} \\
\end{align}\)
代回原方程

114.4.21補充
If \(\alpha,\beta,\gamma\) are the roots of \(x^3-x-1=0\), compute \(\displaystyle \frac{1+\alpha}{1-\alpha}+\frac{1+\beta}{1-\beta}+\frac{1+\gamma}{1-\gamma}\).
(1996Canadian Mathematical Olympiad，https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/sol1996.pdf)

已知\(p\ne 0\)，\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(x^3-px+p^3=0\)的三個根，試以\(p\)表示\(\displaystyle \frac{\alpha-p}{\alpha+p}+\frac{\beta-p}{\beta+p}+\frac{\gamma-p}{\gamma+p}\)之值。
(114高雄中學，https://math.pro/db/thread-3962-1-1.html)

填充第 7 題
1 - (白球數一路領先紅球數的機率)

引用:

原帖由 c711211 於 2020-6-8 13:15 發表
單選3的(D)選項
是否有誤呢？

看起來沒有問題

單選第1題
\(\begin{align}
  & {{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{7}}>0 \\
& {{a}_{8}},{{a}_{9}},\cdots <0 \\
& \left| {{a}_{7}} \right|<\left| {{a}_{8}} \right| \\
& \left| {{a}_{6}} \right|<\left| {{a}_{9}} \right| \\
& \left| {{a}_{5}} \right|<\left| {{a}_{10}} \right| \\
& \left| {{a}_{4}} \right|<\left| {{a}_{11}} \right| \\
& \left| {{a}_{3}} \right|<\left| {{a}_{12}} \right| \\
& \left| {{a}_{2}} \right|<\left| {{a}_{13}} \right| \\
& \left| {{a}_{1}} \right|<\left| {{a}_{14}} \right| \\
\end{align}\)
\(n\ge 14\)時，\({{S}_{n}}<0\)，\(n\)之最大值13

填充第 4 題
先算出 AC，再算出 cos∠BAC 和 cos∠DAC
最後用和角和餘弦求 BD

若您數感不錯，有看出\({{\overline{AB}}^{2}}+{{\overline{CD}}^{2}}={{\overline{BC}}^{2}}+{{\overline{DA}}^{2}}\)，就更簡單了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-6-9 15:37 編輯 ]

單選第 6 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3203

複選第 10 題
每個選項都是一個題目，先說一下哪個選項有問題吧

第10題
(B) 選項
(1) 恰有2個是0
\(C_{2}^{3}\times 2=6\)

(2) 恰有1個是0
先考慮\(x+y=18\)的正整數解，有\(H_{16}^{2}\)組
\(C_{1}^{3}\times H_{16}^{2}\times {{2}^{2}}=204\)

(3) 3個均不為0
考慮\(x+y+z=18\)的正整數解，有\(H_{15}^{3}\)組
\(H_{15}^{3}\times {{2}^{3}}=1088\)

全部加起來


(C) 選項
\(\frac{C_{2}^{6}\times C_{1}^{4+3}+C_{2}^{4}\times C_{1}^{6+3}+C_{2}^{3}\times C_{1}^{6+4}}{C_{3}^{13}}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-6-11 08:59 編輯 ]

填充第 4 題、計算第 1 題
前面已有

填充第 3 題
畫出\(y=\left| \left| x \right|-4 \right|-3\)和\(y=mx\)之圖形去觀察，何時有兩相異交點

填充第 8 題
用三次孟氏定理
(1) △BCD 被 QA 所截，可求出 DF / FB
(2) △AQC 被 BD 所截，可求出 AF / FQ
(3) △BQF 被 PA 所截，可求出 FE / EB

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-6-11 08:55 編輯 ]

複選第12題
\(\begin{align}
  & a=\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16} \right)p=\frac{15}{16}p \\
& 0<p<1 \\
& 0<a<\frac{15}{16} \\
\end{align}\)
總所得超過\(\frac{1}{3}\)的情形有以下情形
(1) 第1次為正
(2) 第1次為反，第2、3次均為正
\(\begin{align}
  & b=p+\left( 1-p \right){{p}^{2}}=p+{{p}^{2}}-{{p}^{3}} \\
& {{p}^{2}}-{{p}^{3}}>0\ ,\ {{p}^{3}}>0 \\
& p<b<p+{{p}^{2}} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-6-11 12:15 編輯 ]