102台中女中

填7 (待定係數法)
ps. 我的同事 任爸 提供的解法

設A(a,0),B(0,b), a,b為正實數,
直線AB 截距式 為  ax+yb=1
代入(2,1) 得
#1#  a2+1b=1   

所求為 a+b+ a2+b2 
欲將 a2+b2  以 不等式 去掉 礙眼的 根號

故 自令 一組 待定係數 正實數 p,q ,滿足
#2# p2+q2=1

柯西
a2+b2p2+q2ap+bq 
即 a2+b2ap+bq 
等號成立於
#3# ap=qb  

故所求
a+b+ a2+b2   
a+b+ap+bq=(1+p)a+(1+q)b  
=[(1+p)a+(1+q)b](a2+1b)  
(2(1+p)+1+q)2     ps. 至此為與 a, b 無關之常數(亦即 只要p與q定得出來,這就是最小值)
上行的等號成立於
a2(1+p)a=b1(1+q)b   即
#4# (1+p)a2=2(1+q)b2  

將 #3# 平方得  
#5# a2p2=q2b2  

將 #4# 除以 #5# 得
#6#  p2(1+p)=2q2(1+q)  

將 #2#  代入 #6#  得
(1−q2)(1+p)=2(1−p2)(1+q)  
約分得 2p-q=1
將上式 代入 #2# p2+q2=1
所待定的係數已定出  p=54q=53  
此時 a=310b=25  

為了將過程盡量解釋清楚,
所以篇幅很長,請見諒.
結束前,整理一遍
OA+OB+AB
=a+b+  a2+b2   
=a+b+  a2+b2(p2+q2) 
a+b+ap+bq=(1+p)a+(1+q)b  =[(1+p)a+(1+q)b](a2+1b)  
(2(1+p)+1+q)2 
= 10 為 最小值

---------- 正經文 結束 以下是惡搞 ----------

這時 如果要唬人
可以寫成
OA+OB+AB
=a+b+  a2+b2   
=a+b+  a2+b2(54)2+(53)2 
a+b+(54a+53b)=59a+58b  
=[59a+58b](a2+1b)  
(518+58)2 
= 10 得 最小值

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2013-5-14 06:10 PM 編輯 ]