填充第 7 題，換個方向旋轉也不錯。

填充第 7 題，另解一：

qq1.png (19.25 KB)

2012-6-1 08:49

如圖，將 PBC 以 B 為旋轉中心，逆時針旋轉 90，

則 PQB 為等腰直角三角形，得 PQ=52 ，

在 APQ 中，因為 PQ2=AP2+AQ2　　（　(52)2=72+12 　），

因此 QAP=90，sinAQP=752cosAQP=152

得 cosAQB=cosAQP+45=cosAQPcos45−sinAQPsin45=5−3 

在 AQB 中，由餘弦定理，可得 AB2=12+52−215cosAQB=32 ，此即為正方形 ABCD 之面積。


（註：或是學 shiauy 老師用托勒密定理也不錯，哈！）


另解二：

qq2.png (14.53 KB)

2012-6-1 08:49

設正方形 ABCD 的邊長為 x，PBC=PBA= ，

因為 與 互餘，所以 cos2+cos2=1

［說明：　cos2+cos2=cos2+cos290−=cos2+sin2=1  　］

在 PBA 中，由餘弦定理可得 cos=25x52+x2−72

在 PBC 中，由餘弦定理可得 cos=25x52+x2−12

因此，

25x52+x2−72+25x52+x2−12=1 

解「x2」的一元二次方程式，即可得 x2=32，此即為正方形 ABCD 之面積。

（註：「x2」解出的另一根為 18 ，但如此會使得 cos0，但顯然 \alpha 為銳角，故不合。）



註：解完才發現 wdemhueebhee 老師已經回過上面的作法了，囧rz.....

那再來一個另解好了，

填充第 7 題，

qq2.png (6.44 KB)

2012-6-1 20:28

如上圖，連接 \overline{PD}，

因為 \overline{PA}^2+\overline{PC}^2=\overline{PB}^2+\overline{PD}^2

（上面這行用一堆畢氏定理就可以證出來了～）

可得 \overline{PD}=5

因此，\triangle ABP\sim\triangle ADP 且 \triangle CBP\sim\triangle CDP 　（兩者皆用ＳＳＳ全等性質）

可得 A, P, C 三點共線，因此正方形 ABCD 的對角線 \overline{AC}=7+1=8

\Rightarrow 可得正方形 ABCD 的邊長與面積。

引用:

原帖由 mandy 於 2012-6-1 10:20 PM 發表
請問為什麼不可直接算[sin(2t-45),cos(2t-45)]　　
當ｔ=１５度,可得[sin(-１５度),cos(-１５度)]
當ｔ=３０度,可得[sin(１５度),cos(１５度)]

可以呀， 畫出來還會是跟 #11 zeratulok 的圖一樣呀，

點 (\cos\theta,\sin\theta) 是位在單位圓上，從正向 x 軸開始逆時針旋轉 \theta 角，如下～

qq1.png (15.63 KB)

2012-6-1 23:18

而點 (\sin\theta,\cos\theta) 是位在單位圓上，從正向 y 軸開始順時針旋轉 \theta 角而已，如下～

qq2.png (15.27 KB)

2012-6-1 23:18

所以，[sin(-１５度),cos(-１５度)]～角度增加到～[sin(１５度),cos(１５度)]的點移動軌跡如下，

qq3.png (13.21 KB)

2012-6-1 23:25

填充題第 6 題：

法一：用排容原理，

8!-\left(C^3_2\times7!\times2-6!\times3!\right)-7!\times2-7!\times2

　+\left(C^3_2\times6!\times2\times2-5!\times3!\times2\right)+\left(C^3_2\times6!\times2\times2-5!\times3!\times2\right)+6!\times2\times2

　-\left(C^3_2\times5!\times2\times2\times2-4!\times3!\times2\times2\right)

　=9216

任排－甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）－丁戊相鄰－己庚相鄰

　＋甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）且丁戊相鄰＋甲乙丙至少有兩人相臨（三人同時相鄰有多扣要回補）且己庚相鄰

　＋丁戊相鄰且己庚相鄰

　－甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）且丁戊相鄰且己庚相鄰

法二：先分類之後列出 "丁戊己庚辛" 的排列方法，

　　　分類方式是按照丁戊、幾庚這兩組分成

　　　"1. 兩組都相鄰（3!\times2\times2=24） 2. 兩組恰一組相鄰（C^2_1\times\left(4!\times2-24\right)=48） 3. 兩組都沒有相鄰（5!-24-48=48）"，

　　　然後再讓甲乙丙插空隙。

　　　24\times\left(3\times2\right)\times4+48\times3\times\left(5\times4\right)+48\times\left(6\times5\times4\right)=9216

類題：https://math.pro/db/thread-1610-1-1.html

先不考慮甲乙丙，

先排剩下的五的人，丁戊己庚辛，分成下列三類：

第一類：丁戊相鄰 且 己庚相鄰，例如： (丁戊)辛(己庚)，

　　　　如此則在安排甲乙丙時，要安排一個放在 (丁戊) 的中間，也要安排一個放在 (己庚) 的中間，

　　　　剩下的一個可以有四個空隙選一個來放。

第二類：丁戊 或 己庚 恰只有一組是相鄰的，例如： 己(丁戊)辛庚，

　　　　如此則在安排甲乙丙時，要安排一個放在這組相鄰的 (丁戊) 的中間，

　　　　剩下的兩個有五個空隙中的兩個位置可以放。

第三類：丁戊 或 己庚 這兩組都沒有相鄰的，例如： 丁己辛庚戊，

　　　　如此則在安排甲乙丙時，任意放入六個空隙中的三個位置就可以了。