114文華高中

填充第 2 題：

設 \(\overline{AC}\) 與 \(\overline{BD}\) 交於 \(E\)，

由於 \(ΔABE∼ΔDCE\)，得 \(\overline{AE}: \overline{DE} = \overline{BE}: \overline{CE} =\overline{AB}:\overline{DC} = 9:3\)。

由於 \(ΔADE∼ΔCBE\)，得 \(\overline{AE}: \overline{BE} = \overline{DE}: \overline{CE} =\overline{AD}:\overline{BC} = 9:5\)。

由上兩式，得 \(\overline{AE} : \overline{BE} : \overline{CE} : \overline{DE} = 27 : 15 : 5 : 9\) 。

由分點公式，得 \(\displaystyle \vec{CE} = \frac{3}{8} \vec{CB} + \frac{5}{8} \vec{CD}\) 。

再將 \(\vec{CE}\) 伸縮，得 \(\displaystyle \vec{CA} = \frac{32}{5} \vec{CE} = \frac{12}{5} \vec{CB} + 4 \vec{CD}\) 。

填充第 1 題：

令 \(P = a^3 -4 a^2 -6a + 4\) 且 \(Q = a^2 -3a +1\)，

利用長除法，得

\(a^3 -4 a^2 -6a + 4 = \left(a^2 -3a +1\right)\left(a-1\right) + \left(-10a + 5\right)\)，

即 \(P = Q\left(a-1\right) + \left(-10a +5\right)\)

\(\Rightarrow \left(Q - 10\right)a + \left(-P-Q+5\right) = 0\)

因為 \(P\) 與 \(Q\) 皆為有理數（得 \(Q-10\) 與 \(-P-Q+5\) 亦為有理數）且 \(a\) 為無理數，

得 \(Q-10=0\) 且 \(-P-Q+5=0\)

\(\Rightarrow Q=10\) 且 \(P = -5\)

\(\Rightarrow Q = a^2 -3a +1 = 10\)

\(\displaystyle \Rightarrow a = \frac{3 \pm 3 \sqrt{5}}{2} \)

又因為題目有說 \(a\) 為正數，

故 \(\displaystyle a = \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2} \)。